Metode Bagi Dua

Misalkan fungsi f(x) adalah fungsi yang kontiniu pada selang [a, b] dan f(a)f(b) < 0

– Pada iterasi pertama selang [a, b] dibagi dua di x = c, sehingga terdapat dua bagian selang yang baru yaitu  [a, c] dan [c, b].

-Jika f(a)f(c) < 0, maka selang [a, c] digunakan untuk iterasi berikutnya, jika tidak, maka selang    [c, b] yang digunakan untuk iterasi berikutnya, dst

Iterasi dihentikan jika terdapat salah satu dari tiga kondisi berikut :

1.Lebar selang baru < ε (yaitu nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar)

2.Nilai fungsi dihampiran akar f(c) = 0

3.Galat relatif hampiran akar : | (cbaru – clama ) / cbaru | < δ yaitu galat relatif hampiran yang diinginkan

Jumlah iterasi pembagian selang minimal yang dibutuhkan untuk menjamin bahwa c adalah hampiran akar yang memiliki galat < ε, dapat dihitung dengan rumus :

Algoritma Metode Bagi Dua2 pada Metode Numerik

1)Definisikan fungsi f(x)yang akan dicari akarnya

2)Tentukan nilai selang a dan b

3)Tentukan torelansi ε

4)Hitung f(a)dan f(b)

5)Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, jika f(a).f(b)<0 proses dilanjutkan

6)Hitung c = (a + b) / 2

7)Hitung f(c)

8)Jika f(a).f(c) < 0, maka b -> c dan f(b) -> f(c) selang baru yang digunakan [a, c],  jika f(a).f(c) > 0 maka a -> c dan f(a) à f(c) selang baru yang digunakan [c, b]

9)Jika |b – a|< ε, maka proses dihentikan dan didapatkan akar = c, dan bila tidak, ulangi langkah 6

Iterasi selangkapnya dapat dilihat pada tabel berikut :

Metode Regula-Falsi

Meteode regula-falsi pada metode numerik merupakan sebuah metode memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas selang. Metode ini juga memperhitungkan nilai f(a) dan f(b) dalam menentukan nilai hampiran akarnya

Prinsip metode ini adalah menggunakan garis scan  (garis lurus yang menghubungkan 2 koordinat nilai awal terhadap kurva) untuk mendekati akar persamaan non linear (titik potong kurva f(x) dengan sumbu x)

Hampiran nilai akar selanjutnya merupakan titik potong garis scan dengan sumbu x

Algoritma Metode Regula Falsi

1)Tentukan nilai awal selang [a, b]

2)Cek nilai f(a) dan f(b) : jika berbeda tanda maka nilai awal selang dapat digunakan untuk  iterasi selanjutnya, jika tidak, maka tentukan nilai awal yang baru

3)Lakukan iterasi dan tentukan nilai c dengan rumus :

4)Cek  konvergensi nilai c, jika nilai f(c) = 0 dan nilai cn+1 dan cn konstan, maka proses iterasi dihentikan

5)Jika belum konvergen, tentukan nilai selang baru dengan cara :

jika tanda f(c) = tanda f(a)  atau f(a)f(c) > 0 maka c = a

jika tanda f(c) = tanda f(b) atau f(a)f(c) < 0 maka c  = b

Contoh 2 :

Tabel iterasi fungsi f(x) = ex – 5x2 dengan metode regula falsi :

Perbaikan metode regula-falsi

Pada metode regula-falsi akan ditemui salah satu dari titik ujung selang yang nilainya selalu tetap (pada contoh 2 adalah nilai b) untuk setiap iterasi yang dinamakan titik mandek (stagnant point).

Cara mengatasinya :

Pada akhir iterasi r = 0, tentukan titik ujung selang yang tidak berubah (titik mandek), kemudian nilai fungsi f pada titik tsb diganti menjadi setengah kalinya, yang akan digunakan pada iterasi r = 1. Jika diterapkan pada contoh 2, maka hasil iterasinya adalah sbb :

Tugas 3 :

Tentukan akar persamaan dari fungsi f(x) = e-x – x, dalam selang [0 , 1] dan ε = 0.0001 dengan metode bagi dua dan regula falsi!

Untuk lebih memahami lebih jelasnya teman – teman juga melihat video pembahasan tentang metode regula falsi.