• Metode Fixed-Point
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant

 METODE TERBUKA

Metode Lelaran Titik Tetap (fixed-point iteration)

– Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x)

– Bentuk prosedur lelaran  xr+1 = g(xr)

– Tentukan nilai awal x0  lalu hitung nilai x1 , x2 , dst yang mudah2an  konvergen ke akar sejati

– Kondisi berhenti dinyatakan bila : | xr+1 – xr | < ε

Kriteria Konvergensi

Teorema : Misalkan g(x) dan  g'(x) menerus di dalam selang [a,b] = [ s-h, s+h] yang mengandung titik tetap  s dan nilai awal  x0 dipilih dalam selang tersebut.

Jika  |g'(x)|< 1 untuk semua   x  Î [a,  b] maka lelaran  xr+1 =  g(xr) akan konvergen ke s.  Pada kasus ini s disebut juga  titik atraktif .

Jika  |g'(x)| > 1 untuk semua x  Î [a, b] maka lelaran xr+1 =  g(xr) akan divergen dari  s.

Berdasarkan teorema tersebut, dapat disimpulkan :

Didalam selang I =[ s-h, s+h ] dengan s  titik tetap ,

-Jika 0 < g’(x) < 1 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya konvergen monoton

-Jika -1 < g’(x) < 0 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya konvergen berosilasi

-Jika  g’(x) > 1 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya divergen monoton

-Jika  g’(x) < -1 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya divergen berosilasi

Contoh  1 :

Carilah akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 = 0,  gunakan  ε = 0.000001

Penyelesaian :

Terdapat beberapa kemungkinan prosedur     lelaran yang dapat dibentuk

1. x2 – 2x – 3 = 0 -> x2 = 2x – 3

x = √(2x + 3) -> g(x)

Jika terkaan awal x0 = 4

Untuk g(x) = √(2x + 3)

Grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 3, pada selang [-5, 5]

Grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 3 pada selang [-2, 5]

Latihan :

Temukan akar persamaan dari f(x) = 2x2 + 10x -20, dengan menggunakan metode Lelaran Titik Tetap (Fixed Point) dengan x0 = 1 dan ε = 0.00001

Bagi teman – teman yang sudah mempelajari solusi persamaan nirlanjar II dapat melanjutkan dengan Metode Numerik : Metode Eliminasi Gauss Pivoting Penskalaan.

Silahkan bagi teman – teman yang belum memahami tentang solusi persamaan nirlanjar II dapat juga menonton video berikut ini Solusi persamaan nirlanjar