Hukum – hukum Aljabar proposisi adalah :

1. Idemepoten

p ∨ p ≡ p

p ∧ p ≡ p

2. Asosiatif

(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

3. Komutatif

p ∨ q ≡ q ∨ p

p ∧ q ≡ q ∧ p

4. Distribusi

p ∨ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)

p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

5. Identitas

p ∨ f = p      p ∧ f = f

p ∨ t = t      p ∧ t = p

6. Komplemen

p∨ ∼ p = t    ∼ t = f

p∧ ∼ p = f    ∼ f = t

7. Involution

∼ p (∼ p )≡ p

8. De Morgan’s

∼ (p ∧ q)  = ∼  p ∨ ∼ q

∼ (p ∨ q)  = ∼  p ∧ ∼ q

9. Absorbsi

p ∨ (p ∧ q)  = p

p ∧ (p ∨ q)  = p

10. Implikasi

p → q = ∼ p ∨ q

11. Biimplikasi

p ↔ q = (p → q)∧(q → p)

12. Kontraposisi

p → q = ∼ q → ∼p

Salah satu manfaat dari hukum – hukum aljabar proposisi adalah untuk menyederhanakan pernyataan gabungan.

Catatan :

Untuk menunjukkkan atau membuktikan bahwa hukum – hukum aljabar proposisi benar silahkan buat tabel kebenarannya dan nyatakan apakah proposisi – proposisi pada hukum – hukum tersebut logical equivalence. 

Proposisi t = true merupakan suatu pernyataan yang selalu bernilai benar dan proposisi f = false merupakan suatu pernyataan yang selalu berniali salah.

Pembuktian HK De’morgan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

∼ (p ∧ q)  = ∼  p ∨ ∼ q

Pembutian hukum – hukum yang lain silahkan lakukan sebagai saran menguji pemahaman.pernyataan benar = (+), pernyataan salah = (-)

Contoh :

1. Jika pernyataan p = Thoriq tinggi, ∼p = Thoriq pendek dan q = Thoriq besar ∼q = Thoriq kecil maka proposisi berikut adalah equivalence.

a. Tidak benar Thoriq tinggi dan besar = Thoriq pendek atau kecil.

b. tidak benar Thoriq rendah aatau besar = Thoriq tinggi tetapi kecil.

2. jika lawan ( negasi ) dari lebih dari adalah kurang dari atau sama dengan negasi dari kurang dari adalah lebih dari atau sama dengan maka pernyataan – pernyataan berikut equivalence.

a. tidak benar 6 kurang 3 = 6 lebih dari atau sama dengan 3

b. 7 lebih dari 15 dan kurang dari atau sama dengan 6 = tidak benar 7 kurang dari atau sama dengan 15 atau lebih dari 6.

Penejalasan contoh :

1. Pada contoh a proposisi dapat ditulis dalam bentuk : tidak benar Thoriq tinggi dan besar = ∼(p∧q) = ∼pv∼q = Thoriq rendah atau kecil, ini merupakan aplikasi dari hukum de’Morgan jadi keduanya equvalence. pada contoh b dapat ditulis dalam bentuk tidak benar Thoriq rendah atau besar = ∼(∼ pvq ), maka dengan hukum de’Morgan dan involisi kita dapatkan ∼(∼ pvq ) = ∼∼p∧∼q = p∧∼q = Thoriq tinggi tetapi kecil.

2. pada contoh a bila p = 6 < 3 maka ∼p = 6≥3, sehingga kalimat tidak benar 6 kurang dari 3 = ∼p = 6≥3 =  6 lebih dari atau sama dengan tiga. pada contoh b, bila r = 7>15 dan q = 7 ≤ 6, maka ∼r = 7 ≤ 15 dan q = 7 > 6. sehingga kalimat 7 lebih dari 15 dan kurang dari atau sama dengan 6 = r ∧ q = ∼(∼rv∼q) = tidak benar 7 ≤ 15 atau 7 > 6 = tidak benar 7 kurang dari atau sama dengan 25 atau lebih dari 9.

Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Impilikasi dan Biimplikasi. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

NAND adalah pernyataan gabungan yang dihasilkan dari menegasikan konjungsi. Dimana notasi NAND tersebut dapat di buatkan sebuah pernyataan

∼(p ∧ q),(p ∧ q)‘

kerena dalam NAND tersebut negasi dari jongsi, maka dapat di buatkan dalam tabel kebenaran NAND sebagai berikut :

atau

Exlusive or (exor )

Exor adalah sebuah pernyataan gabungan dimana salah satu p atau q ( tidak kedua – duanya ) adalah benar. Dalam notasi exor dapat disimpulkan :

Contoh :

p = sisitem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, dapat berbeda secara terus menerus melebihi jarak tertentu, adalah pernyataan benar.

q= sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlianan dalah pernyataan yang benar.

r = sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang digunakan dalam system digital adalah pernyataan yang salah.

s = aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan salah.

maka :

pvq adalah exor yang salah karena p benar, q benar.

pvr adalah exor yang benar kerena p benar, s salah

svq adalah exor yang benar kerena q benar, s salah

rvs adalah exor yang salah kerena r salah, s salah

dengan demikian dapat diambil kesimpulan dan dimasukan kedala tabel kebenaran exor dapat ditulis sebagai berikut :

atau

Exlusive Nor (ExNOR)

EXNOR adalah sebuah pernyataan gabungan ingkaran dari EXOR dimana nilai kebenarannya benar bila kedua pernyataan benar atau salah. maka dapat diambil kesimpulan Notasi EXNOR sebagai berikut :

Contoh :

p = sistem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, dapat berbeda secara terus menerus melebih jarak terentu adalah pernyataan benar.

q= sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlianan dalah pernyataan yang benar.

r = sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang digunakan dalam system digital adalah pernyataan yang salah.

s = aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan salah.

maka :

p EXNOR q, adalah pernyataan yang benar

p EXNOR r, adalah pernyataan yang salah

s EXNOR q, adalah pernyataan yang salah

r EXNOR s, adalah pernyataan yang benar

dengan demikian tabel kebenaran EXNOR adalah sebagai berikut :

Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Tautologi & Kontradiksi, Kesetaraan logis. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan kta penghubung atau.

Notasi – notasi disjungsi :

p ∨ q, p + q

Bagaimana menentukan benar atau salah sebuah disjungsi ? Disjungsi dapat dianalogikan dengan sebuah rangkaian listrik yang paralel :

Bila lampu A dan lampu B hidup maka arus listrik i dapat bergerak/mengalir dari kutup positip ke kutup negatip sebuah baterai, akibatnya lampu A dan B menyala. Bila lampu A hidup danlampu B mati ( atau sebaliknya ), maka arus listrik i masih dapat mengalir dari kutup positip ke kutup negatip sebuah baterai. Akibatnya lampu yang hidup akan menyala dan yang mati tidak menyala.

Bila lampu A dan B mati, maka arus listrik i tidak dapat mengalir ke kutup negatip. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa disjungsi salah bila kedua lampu mati, selain itu benar.

Tabel kebenaran Disjungsi

atau

Catatan :

Simbol tabel kebenaran yang biasa digunakan :

Benar = T, B, + , 1

Salah = F, S, – , 0

Contoh :

p = Keyboard adalah alat yang dapat digunakan untuk input data kedalam komputer adalah pernyataan benar.

q = Hardisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan salah.

r = Procesor alat yang berfungsi sebagai otak dari sebuah komputer adalah pernyataan yang benar.

s = Windows 10 adalah sistematika menulis buku adalah pernyataa salah.

maka :

p v q  = disjungsi yang benar kerena p benar, q salah

p v r = disjungsi yang benar kerna p benar, r benar

q v s = disjungsi yang salah karena q salah, salah

Negasi

adalah sebuah pernyataan yang meniadakan pernyataan yang ada, dapat dibentuk dengan menulis adalah salah bahwa atau dengan menyisipkan kata ” tidak” dalam sebuah pernyataan.

Notasi – notasi negesi :

\(\)$$\sim p,p:\overline{p}$$

Contoh :

p = Harddisk adalah salat yang menetukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan salah

maka :

∼p  = adalah salah bahwa hardisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan benar.

jadi kebenearan sebuah negasi adalah lawan dari kebenaran pernyataan.

Tabel kebenaran negasi :

Joindenial ( Not OR/NOR )

Jointdenial adalah pernyataan gabungan yang dihasilakan dari menegasikan disjungsi.

Notasi NOR :

$$p^{\downarrow }q,pnorq,\sim \left( pvq\right) $$

Karena joindenial adalah negasi dari or, maka table kebenaran NOR adalah sebagai berikut :

atau

Bagi yang belum mengenal apa itu kongjungsi dapat membaca artikel tentang logika proposi, dan untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono