Salah satu kemampuan yang kita kuasai setelah kita mempelajari logika proposisi adalah kemampuan untuk membedakan. Membedakan apakah tautologi, kontradiksi atau bentuk proposisi yang lain, membedakan apakah proposisi bernilai benar atau salah, membedakan apakah kuantor universal atau existential.

Untuk dapat menguasai teori himpunan, kemampuan untuk membedakan sangat diperlukan, kerena himpunan merupakan kumpulan benda atau objek yang didefinisikan secara jelas. Himpunan dapat dipandang sebagai kumpulan benda – benda yang berbeda tetapi dalam satu segi dapat ditanggapi sebagai suatu kesatuan. Objek – objek ini disebut dengan anggota atau elemen himpunan.

Notasi :

Himpunan : A, B, C, dan seterusnya

Anggota himpunan : a,b,c dan seterusnya

Contoh :

Kita definisikan himpuna software Microsoft Office, maka kita akan dapat menulis

A = {MsWord, MsExcel, MsPowerPoint, dan seterusnya}

atau

B =  {x|x software Microsoft Office }

Cara menuliskan himpunan A disebut menulis secara tabulasi. Cara menuliskan himpunan B disebut menulis secar deskriptif. Masing – masing objek dalam himpunan A disebut anggota atau elemen himpunan, dituliskan

x ∈ A artinya x anggota himpunan A

x ∉ A artinya x bukan anggota himpunan A

Kardinalitas dalam Matematika Diskrit

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi : n(A) atau |A|

Contoh :

B = {x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 15 }

atau B = { 2,3,5,7,11,13 } maka |B| = 6

Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan dimana jumlah anggotanya berhingga artinya bila kita menghitung elemen – elemen yang berbeda dari himpunan ini, maka proses berhitung dapat selesai.

Bila tidak demikian maka himpuna ntak berhingga.

A = Himpunan sofrware edit text

A = { x | x Software edit text }

A = { office, noteped, VisualStudiocode,Sublimetext }

Contoh :

B  = himpunan bilangan asli

B = { x | x bilangan asli }

B = {1,2,3,4 dan seterusnya )

maka A berhingga

Baca juga artikel kita tentang Aljabar Proposisi

Kesamaan Dua Himpunan dan Subhimpunan

Dua himpunan A dan B dikatakan sama dengan jika dan hanya jika keduanya bersama – sama memiliki anggota yang sama.

Contoh :

A = { Wordpad, MsWord, MsExcel }

B = { MsWord, MsExcel,Wordpad}

Maka

A = B

Dua himpunan A dan B dengan elemen – elemen yang berbeda dikatakan setara jika ada hanya jika jumlah anggota himpunan A sama dengan jumlah anggota himpunan B

Contoh :

A = { MsWord, MsExcel }

B = { Pensil, Pena }

maka

A∼B

Untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

contoh soal yang menerapkan prinsip argumentasi matematika diskrit

Notasi :

P (p,q,…)
Q ( p,q,…)

∴C (p,q…)

P,Q, … masing masing disebut dengan dasar pendapat atau premis

{ P,Q,…} bersama – sama disebut hipotesa

C    adalah conclusion / kesimpulan

Contoh :

Jika rajin belajar maka lulus ujian

tidak lulus ujian

∴ tidak rajin belajar

Kebenaran / validitas Argumen

Validitas argument tergantung dari nilai kebenaran masing – masing premis dan kesimpulannya. Suatu argument dikatakan valid bila masing – masing premisnya benar dan kesimpulannya juga benar.

Contoh :

Jika merancang gerbang logika maka memakai sistem bilangan biner.

Jika memakai sistem bilangan biner maka sistem yang dibangun digital.

∴ Jika merancang gerbang logika maka sistem yang dibangun digital.

Arguman tersebut dapat dituliskan dengan notasi sebagai berikut :

p → q

p → r

∴ p → r

Kesimpulan :

Argumen tersebut di atas valid, karena dengan premis yang benar semua kesimpulannya juga benar semua.

Contoh :

Jika merancang gerbang logika maka memakai sistem bilangan biner

Memakai sistem bilangan biner

∴ Merancang gerbang logika

Argumen di atas dapat dituliskan dengan notasi

p → q

q

∴ p

dengan cara yang sama kita dapat menentukan nilai kebenaran argumen di atas :

Kesimpulan :

Argumen di atas tidak valid karena dengan premis – premis benar, kesimpulan bisa benar, bisa salah

Silahkan juga di baca tentang Matematiak diskrit yang lainnya. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

Hukum – hukum Aljabar proposisi adalah :

1. Idemepoten

p ∨ p ≡ p

p ∧ p ≡ p

2. Asosiatif

(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

3. Komutatif

p ∨ q ≡ q ∨ p

p ∧ q ≡ q ∧ p

4. Distribusi

p ∨ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)

p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

5. Identitas

p ∨ f = p      p ∧ f = f

p ∨ t = t      p ∧ t = p

6. Komplemen

p∨ ∼ p = t    ∼ t = f

p∧ ∼ p = f    ∼ f = t

7. Involution

∼ p (∼ p )≡ p

8. De Morgan’s

∼ (p ∧ q)  = ∼  p ∨ ∼ q

∼ (p ∨ q)  = ∼  p ∧ ∼ q

9. Absorbsi

p ∨ (p ∧ q)  = p

p ∧ (p ∨ q)  = p

10. Implikasi

p → q = ∼ p ∨ q

11. Biimplikasi

p ↔ q = (p → q)∧(q → p)

12. Kontraposisi

p → q = ∼ q → ∼p

Salah satu manfaat dari hukum – hukum aljabar proposisi adalah untuk menyederhanakan pernyataan gabungan.

Catatan :

Untuk menunjukkkan atau membuktikan bahwa hukum – hukum aljabar proposisi benar silahkan buat tabel kebenarannya dan nyatakan apakah proposisi – proposisi pada hukum – hukum tersebut logical equivalence. 

Proposisi t = true merupakan suatu pernyataan yang selalu bernilai benar dan proposisi f = false merupakan suatu pernyataan yang selalu berniali salah.

Pembuktian HK De’morgan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

∼ (p ∧ q)  = ∼  p ∨ ∼ q

Pembutian hukum – hukum yang lain silahkan lakukan sebagai saran menguji pemahaman.pernyataan benar = (+), pernyataan salah = (-)

Contoh :

1. Jika pernyataan p = Thoriq tinggi, ∼p = Thoriq pendek dan q = Thoriq besar ∼q = Thoriq kecil maka proposisi berikut adalah equivalence.

a. Tidak benar Thoriq tinggi dan besar = Thoriq pendek atau kecil.

b. tidak benar Thoriq rendah aatau besar = Thoriq tinggi tetapi kecil.

2. jika lawan ( negasi ) dari lebih dari adalah kurang dari atau sama dengan negasi dari kurang dari adalah lebih dari atau sama dengan maka pernyataan – pernyataan berikut equivalence.

a. tidak benar 6 kurang 3 = 6 lebih dari atau sama dengan 3

b. 7 lebih dari 15 dan kurang dari atau sama dengan 6 = tidak benar 7 kurang dari atau sama dengan 15 atau lebih dari 6.

Penejalasan contoh :

1. Pada contoh a proposisi dapat ditulis dalam bentuk : tidak benar Thoriq tinggi dan besar = ∼(p∧q) = ∼pv∼q = Thoriq rendah atau kecil, ini merupakan aplikasi dari hukum de’Morgan jadi keduanya equvalence. pada contoh b dapat ditulis dalam bentuk tidak benar Thoriq rendah atau besar = ∼(∼ pvq ), maka dengan hukum de’Morgan dan involisi kita dapatkan ∼(∼ pvq ) = ∼∼p∧∼q = p∧∼q = Thoriq tinggi tetapi kecil.

2. pada contoh a bila p = 6 < 3 maka ∼p = 6≥3, sehingga kalimat tidak benar 6 kurang dari 3 = ∼p = 6≥3 =  6 lebih dari atau sama dengan tiga. pada contoh b, bila r = 7>15 dan q = 7 ≤ 6, maka ∼r = 7 ≤ 15 dan q = 7 > 6. sehingga kalimat 7 lebih dari 15 dan kurang dari atau sama dengan 6 = r ∧ q = ∼(∼rv∼q) = tidak benar 7 ≤ 15 atau 7 > 6 = tidak benar 7 kurang dari atau sama dengan 25 atau lebih dari 9.

Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Impilikasi dan Biimplikasi. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

Logika proposisi banyak kita kenal dengan sebutan logika matematika ataupun sering kita sebut dengan logika deduktif. Logika proposisi sebenarnya berisi tentang pernyataan – pernyataan yang berupata tunggal maupun pernyataan gabungan. Pernyataan adalah sebuah kalimat deklarasi yang dinyatakan dengan huruf-huruf kecil, misalnya adalah :

p,q,r,s

Adapun pernyataan memiliki sifat dasar yaitu dapat bernilai benar ( sering kita sebut dengan pernyataan benar ) atau bernilai salah ( sering kita sebut dengan pernyataan salah ), tetapi keadaan tersebut tidak mungkin memiliki sifat kedua – duanya.

Contoh :

1. Angka Biner dipakai dalam sistem digital adalah pernyataan benar.
2. Sistem analog lebih akurat daripada sistem digital adalah pernyataan yang salah.
3. Astaga, mahal sekali harga motor itu adalah sebuah kalimat keheranan, bukan sebuah kalimat pernyataan.
4. Pagi tadi motor Thoriq jatuh dari aspal adalah pernyataan karena dapat bernilai benar maupun bernilai salah.
5. AMD Reyzen lebih bagus kinerjana dan lebih mahal dari Pentium Core I5 adalah pernyataan yang benar.

Kalimat pernyataan di atas yang tidak termasuk pernyataan, adalah :

• Kalimat perintah
• Kalimat pertanyaan
• Kalimat keheranan
• Kalimat harapan
• Kalimat … walaupun..

Pernyataan Gabungan

Beberapa contoh pernyataan dapat kita gabungkan dengan kata penghubung dan, atau, tidak/bukan, serta variatifnya, yang selanjutnya disebut dengan pernyataan gabungan atau pernyataan majemuk ( compound statement).

Macam – Macam pernyataan gabungan :

1. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan gabungand ari dua pernyataan dengan kata penghubung dan Notasi – notasi konjugnsi :

\(\)
$$p\wedge q,p\times q,p.q,pq$$
Bagaimana menentukan benar atau salah sebuah konjungsi ? Kongjungsi dianalogikan dengan sebuah rangkaian listrik seri

Bila lampu B dan lampu A hidup maka arus listrik dapat mengalir dai kutup positip menuju kutup negatif sebuah baterai, akibatnya kedua lampu A dan B menyala/hidup. Bila lampu B mati dan lampu A hidup atau sebaliknya, maka arus listrik tidak dapat mengalir menuju kutub negatif baterai, akibatnya kedua lampu A dan B tidak menyala/mati. Demikian juga bila lampu A dan B mati. Dengan demikian dapat diambil kesimulan bahwa konjungsi benar bila keduanya hidup, selain itu salah.

Tabel Kebenaran Konjungsi :

atau

Dimana (+) berarti benar dan (-) berarti salah

Contoh :

p = Sistem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, dapat berbeda secara terus menerus melebihi jarak terentu adalah pernyataan kalimat benar

q = sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan adalah pernyataan yang benar.

r = sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital adalah pernyataan yang salah

s = aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan salah.

maka :

p∧q adalah konjungsi yang benar karena p benar, q benar

q x r adalah konjungsi yang salah karena q benar, r salah

r.s adalah konjungsi yang salah karena r salah, s salah

Untuk materi selanjuta kita akan mempelajari Disjungsi matematika diskrit

sumber buku : Samuel wibisono