contoh soal yang menerapkan prinsip argumentasi matematika diskrit

Notasi :

P (p,q,…)
Q ( p,q,…)

∴C (p,q…)

P,Q, … masing masing disebut dengan dasar pendapat atau premis

{ P,Q,…} bersama – sama disebut hipotesa

C    adalah conclusion / kesimpulan

Contoh :

Jika rajin belajar maka lulus ujian

tidak lulus ujian

∴ tidak rajin belajar

Kebenaran / validitas Argumen

Validitas argument tergantung dari nilai kebenaran masing – masing premis dan kesimpulannya. Suatu argument dikatakan valid bila masing – masing premisnya benar dan kesimpulannya juga benar.

Contoh :

Jika merancang gerbang logika maka memakai sistem bilangan biner.

Jika memakai sistem bilangan biner maka sistem yang dibangun digital.

∴ Jika merancang gerbang logika maka sistem yang dibangun digital.

Arguman tersebut dapat dituliskan dengan notasi sebagai berikut :

p → q

p → r

∴ p → r

Kesimpulan :

Argumen tersebut di atas valid, karena dengan premis yang benar semua kesimpulannya juga benar semua.

Contoh :

Jika merancang gerbang logika maka memakai sistem bilangan biner

Memakai sistem bilangan biner

∴ Merancang gerbang logika

Argumen di atas dapat dituliskan dengan notasi

p → q

q

∴ p

dengan cara yang sama kita dapat menentukan nilai kebenaran argumen di atas :

Kesimpulan :

Argumen di atas tidak valid karena dengan premis – premis benar, kesimpulan bisa benar, bisa salah

Silahkan juga di baca tentang Matematiak diskrit yang lainnya. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

perhatikan pernyataan berikut : Jika kita memakai aplikasi Geany maka Linux adalah sistem operasinya.

Geany adalah salah satu text editor yang bisa digunakan pada sistem operasi Linux, Geany merupakan syarat cukup linux sedangkan linux merupakan syarat perlu bagi Geany, artinya Geany tidak dapat digunakan tanpa Linux tetapi Linux dapat digunakan tanpa ada Geany.

Contoh pernyataan dia tas desebut pernyatan bersyarat atau conditional statement.

Notasi impilkasi :

p → q

dibaca : jika p maka q

Kebenaran implikasi

1. Jika Aplikasi Geany maka Linux sistem operasinya adalah impiliasi benar, karena keduanya buatan linux.
2. Jika Geany maka bukan linux sistem operasinya adalah pernyataan salah, karena sistem Geany adalah Linux.
3. Jika bukan geany maka linux sistem operasinya adalah pernyataan benar karena aplikasi under linux tidak hanya Geany.
4. Jika bukan Geany maka bukan Linux sistem operasinya adalah pernyataan benar, karena aplikasi selain Geany, sistem operasinya bisa jadi bukan Linux.

Tabel kebanaran implikasi sebagai berikut

Misalkan pernyataan p adalah benar, q adalah salah dan r adalah benar, tentukan kebenaran proposisi berikut :Contoh :

(p v q ) → r

Jawab :

Proposisi di atas dapat diubah menjadi :

(t v f ) →f

t →f

f

jadi proposisi di atas salah

bukti dengan tabel :

Konvers, Invers dan Kontraposisi

jika impilkasi : p →q

maka :

Konversnya : q → p

Inversnya : ∼p → ∼q

Kontrapositipnya : ∼q → ∼p

Contoh :

Jika Microsoft Excel maka Windows sistem operasinya adalah impilias yang benar, berdasarkan impilikasi di atas maka :

Konversenya : Jika windows sistem operasinya maka microsft excel aplikastifnya.

Inversenya : jika bukan microsft excel maka bukan windows sistem operasinya.

Kontrapositipnya : jika bukan windwos sistem operasinya maka bukan microsft excel aplikatifnya.

Tabel kebenaran Konvers, Invers dan Kontraposisi

Jadi dapat disimpulkan bahwa propsisi yang saling kontra – positif mempunyai nilai kebenaran yang sama (equivalen). Berdasarkan sifat tersebut maka kita dapat membuktikan suatu dalil dalma bentuk implikasi melalui nilai kebenaran kontra – positipnya.

Contoh :

Buktikan bahwa :

Jika x² bilangan genap, maka x juga bilangan genap

dapat ditulis : x² = genap  → x = genap

Jawab :

Kontrapositif dari impikasi di atas adalah :

jika x bukan bilangan genap maka x² juga bukan bilangan genap.

dapat ditulis :

jika x = ganjil maka x² = ganjil

Setiap bilangan bulat bukan genap adalah ganjil, sehingga x ganjil ditulis x = 2k + 1, k bilangan bulat, akibatnya :

x² = (2k + 1)²

= 4k² + 4k +1

= 2 (2k² + 2K) + 1

karena :

k = bilangan bulat maka :

k² = juga bilangan bulat

2k = juga bilangan genap

2k² + 2k juga bilangan genap

sehinga x² = bilangan ganjil, karena bilangan genap ditambah 1 sama dengan bilangan ganjil. Jadi Kontrapositipnya benar akibatnya implikasinya juga benar.

Biimplikasi

Perhatikan pernyataan berikut :

Microsoft excel jika dan hanya jika ingin membuat dokumen dengan sistem operasi Windows

Pernyataan tersebut di atas disebut biimplikasi atau bicondtional statement.

Notasi biimplikasi : p ↔ q

dibaca p jika dan hanya jika q

Kebenaraan Biimplikasi

1. Microsoft Word jika dan hanya jika ingin membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan benar.
2. Microsoft Word jika dan hanya jika tidak membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan salah.
3. Bukan Microsoft Word jika dan hanya jika membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan salah.
4. Bukan Microsoft Word jika dan hanya jika tidak membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan benar.

Tabel Kebenaran Biimplikasi :

Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Argumentasi Matematika Diskrit untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

Hukum – hukum Aljabar proposisi adalah :

1. Idemepoten

p ∨ p ≡ p

p ∧ p ≡ p

2. Asosiatif

(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

3. Komutatif

p ∨ q ≡ q ∨ p

p ∧ q ≡ q ∧ p

4. Distribusi

p ∨ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)

p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

5. Identitas

p ∨ f = p      p ∧ f = f

p ∨ t = t      p ∧ t = p

6. Komplemen

p∨ ∼ p = t    ∼ t = f

p∧ ∼ p = f    ∼ f = t

7. Involution

∼ p (∼ p )≡ p

8. De Morgan’s

∼ (p ∧ q)  = ∼  p ∨ ∼ q

∼ (p ∨ q)  = ∼  p ∧ ∼ q

9. Absorbsi

p ∨ (p ∧ q)  = p

p ∧ (p ∨ q)  = p

10. Implikasi

p → q = ∼ p ∨ q

11. Biimplikasi

p ↔ q = (p → q)∧(q → p)

12. Kontraposisi

p → q = ∼ q → ∼p

Salah satu manfaat dari hukum – hukum aljabar proposisi adalah untuk menyederhanakan pernyataan gabungan.

Catatan :

Untuk menunjukkkan atau membuktikan bahwa hukum – hukum aljabar proposisi benar silahkan buat tabel kebenarannya dan nyatakan apakah proposisi – proposisi pada hukum – hukum tersebut logical equivalence. 

Proposisi t = true merupakan suatu pernyataan yang selalu bernilai benar dan proposisi f = false merupakan suatu pernyataan yang selalu berniali salah.

Pembuktian HK De’morgan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

∼ (p ∧ q)  = ∼  p ∨ ∼ q

Pembutian hukum – hukum yang lain silahkan lakukan sebagai saran menguji pemahaman.pernyataan benar = (+), pernyataan salah = (-)

Contoh :

1. Jika pernyataan p = Thoriq tinggi, ∼p = Thoriq pendek dan q = Thoriq besar ∼q = Thoriq kecil maka proposisi berikut adalah equivalence.

a. Tidak benar Thoriq tinggi dan besar = Thoriq pendek atau kecil.

b. tidak benar Thoriq rendah aatau besar = Thoriq tinggi tetapi kecil.

2. jika lawan ( negasi ) dari lebih dari adalah kurang dari atau sama dengan negasi dari kurang dari adalah lebih dari atau sama dengan maka pernyataan – pernyataan berikut equivalence.

a. tidak benar 6 kurang 3 = 6 lebih dari atau sama dengan 3

b. 7 lebih dari 15 dan kurang dari atau sama dengan 6 = tidak benar 7 kurang dari atau sama dengan 15 atau lebih dari 6.

Penejalasan contoh :

1. Pada contoh a proposisi dapat ditulis dalam bentuk : tidak benar Thoriq tinggi dan besar = ∼(p∧q) = ∼pv∼q = Thoriq rendah atau kecil, ini merupakan aplikasi dari hukum de’Morgan jadi keduanya equvalence. pada contoh b dapat ditulis dalam bentuk tidak benar Thoriq rendah atau besar = ∼(∼ pvq ), maka dengan hukum de’Morgan dan involisi kita dapatkan ∼(∼ pvq ) = ∼∼p∧∼q = p∧∼q = Thoriq tinggi tetapi kecil.

2. pada contoh a bila p = 6 < 3 maka ∼p = 6≥3, sehingga kalimat tidak benar 6 kurang dari 3 = ∼p = 6≥3 =  6 lebih dari atau sama dengan tiga. pada contoh b, bila r = 7>15 dan q = 7 ≤ 6, maka ∼r = 7 ≤ 15 dan q = 7 > 6. sehingga kalimat 7 lebih dari 15 dan kurang dari atau sama dengan 6 = r ∧ q = ∼(∼rv∼q) = tidak benar 7 ≤ 15 atau 7 > 6 = tidak benar 7 kurang dari atau sama dengan 25 atau lebih dari 9.

Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Impilikasi dan Biimplikasi. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

1. Tautologi

Tautologi adalah proposisi yang selalu benar apapun pernyataannya.

Notasi taulogi adalah sebagai berikut :

p v ∼p

Contoh :

p = Memori adalah alat yang menentukan besarnya penyimpanan data pada komputer adalah pernyataan salah

∼p = adalah salah bahwa memori adalah alat yang mementukan besarnya penyimpanan data komputer adalah pernyataan benar.

maka :

pv ∼ p adalah proposisi yang benar

Tabel kebenaran tautologi adalah sebagai berikut :

atau

2. Kontradiksi

kontradiksi adalah proposisi yang selalu salah apapun pernyataanya

Notasi kontradiksi :

p∧ ∼ p

Contoh :

p = Processor adalah sebuah alat yang menentukan kecepatan jaringan internet adalah pernyataan salah

∼p  = adalah salah bahawa processor adalah sebuah alat yang menentukan kecepatan jaringan internet adalah pernyataan benar.

maka :

p∧ ∼ p adalah proposisi yang salah

Tabel kebenaran dari kontradiksi adalah sebagai berikut :

Kesetaraan Logis

Dua buah pernyataan yang berbeda dikatakan setara bila nilai kebenarannya sama

Contoh :

1. Tidak benar, bahwa aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan benar.
2. Aljabar Boole adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan benar.

Kedua pernyataan di atas mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jadi kedua pernyataan di atas setara/ekivalen.

Akibatnya dua proposisi P (p, q, r, … ) dan Q (p, q, r, … ) dapat dikatakan setara jika memiliki table kebenaran yang sama. Dua buah proposisi yang setara dapat dinyatakan dengan P(p, q, r, … ) ≡ Q (p, q, r, …).

Contoh :

selidiki apakah kedua proposisi di bawah setara :

1. Tidak benar, bahwa sistem bilangan biner digunakan dalam sistem digital atau sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.
2. Sistem bilangan biner tidak digunakan dalam sistem digital dan tidak benar bahwa sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.

Kedua proposisi di atas dapat dituliskan dengan notasi sebagai berikut :

1. ∼(p v q)
2. ∼p∧ ∼ q)

Sehingga tabel kebenarannya sebagai berikut :

jadi, kedua proposisi tersebut setara atau ∼(p v q ) ≡ ∼p∧∼q

Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Aljabar Proposisi. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono