SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR (II)
- Metode Fixed-Point
- Metode Newton-Raphson
- Metode Secant
METODE TERBUKA
Metode Lelaran Titik Tetap (fixed-point iteration)
– Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x)
– Bentuk prosedur lelaran xr+1 = g(xr)
– Tentukan nilai awal x0 lalu hitung nilai x1 , x2 , dst yang mudah2an konvergen ke akar sejati
– Kondisi berhenti dinyatakan bila : | xr+1 – xr | < ε
Kriteria Konvergensi
Teorema : Misalkan g(x) dan g'(x) menerus di dalam selang [a,b] = [ s-h, s+h] yang mengandung titik tetap s dan nilai awal x0 dipilih dalam selang tersebut.
Jika |g'(x)|< 1 untuk semua x Î [a, b] maka lelaran xr+1 = g(xr) akan konvergen ke s. Pada kasus ini s disebut juga titik atraktif .
Jika |g'(x)| > 1 untuk semua x Î [a, b] maka lelaran xr+1 = g(xr) akan divergen dari s.
Berdasarkan teorema tersebut, dapat disimpulkan :
Didalam selang I =[ s-h, s+h ] dengan s titik tetap ,
-Jika 0 < g’(x) < 1 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya konvergen monoton
-Jika -1 < g’(x) < 0 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya konvergen berosilasi
-Jika g’(x) > 1 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya divergen monoton
-Jika g’(x) < -1 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya divergen berosilasi
Contoh 1 :
Carilah akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 = 0, gunakan ε = 0.000001
Penyelesaian :
Terdapat beberapa kemungkinan prosedur lelaran yang dapat dibentuk
- x2 – 2x – 3 = 0 -> x2 = 2x – 3
x = √(2x + 3) -> g(x)
Jika terkaan awal x0 = 4
Untuk g(x) = √(2x + 3)
Grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 3, pada selang [-5, 5]
Grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 3 pada selang [-2, 5]
Latihan :
Temukan akar persamaan dari f(x) = 2x2 + 10x -20, dengan menggunakan metode Lelaran Titik Tetap (Fixed Point) dengan x0 = 1 dan ε = 0.00001