Metode Bagi Dua

Misalkan fungsi f(x) adalah fungsi yang kontiniu pada selang [a, b] dan f(a)f(b) < 0

– Pada iterasi pertama selang [a, b] dibagi dua di x = c, sehingga terdapat dua bagian selang yang baru yaitu  [a, c] dan [c, b].

-Jika f(a)f(c) < 0, maka selang [a, c] digunakan untuk iterasi berikutnya, jika tidak, maka selang    [c, b] yang digunakan untuk iterasi berikutnya, dst

Iterasi dihentikan jika terdapat salah satu dari tiga kondisi berikut :

1.Lebar selang baru < ε (yaitu nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar)

2.Nilai fungsi dihampiran akar f(c) = 0

3.Galat relatif hampiran akar : | (cbaru – clama ) / cbaru | < δ yaitu galat relatif hampiran yang diinginkan

Jumlah iterasi pembagian selang minimal yang dibutuhkan untuk menjamin bahwa c adalah hampiran akar yang memiliki galat < ε, dapat dihitung dengan rumus :

Algoritma Metode Bagi Dua2 pada Metode Numerik

1)Definisikan fungsi f(x)yang akan dicari akarnya

2)Tentukan nilai selang a dan b

3)Tentukan torelansi ε

4)Hitung f(a)dan f(b)

5)Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, jika f(a).f(b)<0 proses dilanjutkan

6)Hitung c = (a + b) / 2

7)Hitung f(c)

8)Jika f(a).f(c) < 0, maka b -> c dan f(b) -> f(c) selang baru yang digunakan [a, c],  jika f(a).f(c) > 0 maka a -> c dan f(a) à f(c) selang baru yang digunakan [c, b]

9)Jika |b – a|< ε, maka proses dihentikan dan didapatkan akar = c, dan bila tidak, ulangi langkah 6

Iterasi selangkapnya dapat dilihat pada tabel berikut :

Metode Regula-Falsi

Meteode regula-falsi pada metode numerik merupakan sebuah metode memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas selang. Metode ini juga memperhitungkan nilai f(a) dan f(b) dalam menentukan nilai hampiran akarnya

Prinsip metode ini adalah menggunakan garis scan  (garis lurus yang menghubungkan 2 koordinat nilai awal terhadap kurva) untuk mendekati akar persamaan non linear (titik potong kurva f(x) dengan sumbu x)

Hampiran nilai akar selanjutnya merupakan titik potong garis scan dengan sumbu x

Algoritma Metode Regula Falsi

1)Tentukan nilai awal selang [a, b]

2)Cek nilai f(a) dan f(b) : jika berbeda tanda maka nilai awal selang dapat digunakan untuk  iterasi selanjutnya, jika tidak, maka tentukan nilai awal yang baru

3)Lakukan iterasi dan tentukan nilai c dengan rumus :

4)Cek  konvergensi nilai c, jika nilai f(c) = 0 dan nilai cn+1 dan cn konstan, maka proses iterasi dihentikan

5)Jika belum konvergen, tentukan nilai selang baru dengan cara :

jika tanda f(c) = tanda f(a)  atau f(a)f(c) > 0 maka c = a

jika tanda f(c) = tanda f(b) atau f(a)f(c) < 0 maka c  = b

Contoh 2 :

Tabel iterasi fungsi f(x) = ex – 5x2 dengan metode regula falsi :

Perbaikan metode regula-falsi

Pada metode regula-falsi akan ditemui salah satu dari titik ujung selang yang nilainya selalu tetap (pada contoh 2 adalah nilai b) untuk setiap iterasi yang dinamakan titik mandek (stagnant point).

Cara mengatasinya :

Pada akhir iterasi r = 0, tentukan titik ujung selang yang tidak berubah (titik mandek), kemudian nilai fungsi f pada titik tsb diganti menjadi setengah kalinya, yang akan digunakan pada iterasi r = 1. Jika diterapkan pada contoh 2, maka hasil iterasinya adalah sbb :

Tugas 3 :

Tentukan akar persamaan dari fungsi f(x) = e-x – x, dalam selang [0 , 1] dan ε = 0.0001 dengan metode bagi dua dan regula falsi!

Untuk lebih memahami lebih jelasnya teman – teman juga melihat video pembahasan tentang metode regula falsi.

Persamaan nirlanjar / non linear melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma dan fungsi transenden lainnya dimana solusinya adalah dengan menentukan nilai x yang memenuhi persamaan :

f(x) = 0

yaitu nilai x = s sedemikian sehingga f(s) = 0

METODE PENCARIAN AKAR

Pencarian akar f(x) = 0 dalam metode numerik dilakukan secara lelaran (iteratif). Secara umum, metode pencarian akar dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu :

1.Metode Tertutup atau metode pengurung

Mencari akar di dalam selang [a, b], dimana pada selang [a, b] dapat dipastikan berisi minimal satu buah akar.  Lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar.

2. Metode Terbuka

Metode ini tidak memerlukan selang [a, b] yang mengandung akar, yang diperlukan adalah tebakan awal akar,  yang akan digunakan untuk menghitung hampiran akar yang baru dengan prosedur lelaran. Metode ini tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen ke akar sejati, kadang-kadang divergen (menjauhi) akar sejati.

 METODE TERTUTUP

Strateginya adalah mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga lebar selang semakin sempit dan menuju ke akar yang sebenarnya

Sebuah fungsi f(x) = 0 yang berada dalam selang [a, b] dapat mempunyai lebih dari satu buah akar atau tidak sama sekali, yaitu :

1.Jika f(a)f(b) < 0  -> terdapat akar sebanyak bilangan ganjil

2.Jika f(a)f(b) > 0 ->  terdapat akar sebanyak bilangan genap atau tidak ada akar sama sekali

Dua pendekatan yang dapat digunakan dalam memilih selang, yaitu :

-Membuat grafik fungsi bidang XY, lalu melihat dimana perpotongannya dengan sumbu X, sehingga kita bisa mengira-ngira selang yang memuat titik potong tsb

-Mencetak nilai fungsi pada titik-titik absis dengan jarak yang cukup kecil namun tetap, semakin kecil jarak titik absis, semakin besar peluang menemukan selang yang mengandung hanya sebuah akar

Teman – teman juga melihat video tentang keunggulan dan kelemahan dari metode pencarian akar 

Metode Tabel

Secara sederhana, untuk menyelesaikan persamaan non linier dapat dilakukan dengan  menggunakan  metode  tabel  atau  pembagian area. Dimana untuk x = [a, b] atau x diantara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan  pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh sebuah tabel.

• Jika f(xk ) = 0 atau mendekati 0 maka xk adalah penyelesaian persamaan
• Jika f(xk ) ¹ 0, cari nilai f(xk ) dan f(xk+1 ) yang berlawanan tanda

– jika |f(xk  )| < |f(xk+1 )| maka  xk adalah akar persamaan, jika tidak maka xk+1 adalah akar persamaan atau akar persamaan berada diantara xk dan xk+1

• Jika f(xk ) ¹ 0, dan nilai f(xk ) dan f(xk+1 ) tidak ada yang berlawanan tanda maka penyelesaiannya (akar persamaan) tidak berda pada selang [a, b]

algoritma model tabel

Contoh :

Tentukan akar persamaan fungsi

Materi selanjutnya akan kita bahas adalah Metode Numerik Metode Biseksi dan Regular Falsi Part 2