Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat pembulatan.
Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit atau (bit) saja, sehingga bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresantasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat

Misalnya apabila sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0,1666666666…, didalam komputer 6-digit tersebut adalah 0,166667.
Sehingga galat pembulatannya adalah –› 1/6 – 0,166667 = -0,000000333.

Untuk referensi belajar tentang galat teman – teman dapat juga membaca pada artikel berikut ini

Dua cara penyajian bilangan riil pada komputer digital :

• Bilangan titik-tetap (fixed point)

Dalam format ini setiap bilangan disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap, misalnya 62.358 ; 0.013 ; 1.000

• Bilangan titik-kambang (floating point)
  Dalam format ini setiap bilangan disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap, misalnya
  – 0.6238 x 103 atau 0.6238E+03
  – 0.1714 x 10-13 atau 0.1714E-13

Digit-berarti disebut juga Angka Bena (significant figure) yaitu angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti.

Contoh 4 :

43.123  memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1, 2, 3)

0.1764  memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4)

278.300  memiliki 6 angka bena (yaitu 2, 7, 8, 3, 0, 0)

0.0000012  memiliki 2 angka bena

270.0090  memiliki 7 angka bena

Galat Total

adalah

Jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.

Pada contoh sebelumnya, kita menggunakan deret Maclaurin orde ke-4 untuk menghampiri cos(0.2) sbb:

• galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0.2) sampai suku orde 4
• galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai    hampiran ke dalam 7 digit bena

Latihan :

Untuk sharing belajar berikutnya kita akan membahas tentang Metode Numerik Bilangan Titik – Kambang

Galat pemotongan pada metode numerik mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Penghentian suatu deret atau runtutan langkah-langkah komputasi yang tidak berhingga menjadi runtutan langkah yang berhingga yang menimbulkan galat pemotongan.

Jurnal yang  yang berkaitan dengan galat pemotongan dapat teman – teman baca di link berikut ini

Contohnya, hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor disekitar x = 0

Jumlah suku-suku setelah pemotongan merupakan galat pemotongan untuk cos(x)

Galat pemotongan dapat kita hampiri dengan menggunakan rumus suku sisa :

Karena nilai c tidak diketahui, maka kita harus mencari nilai maksimum yang mungkin dari |Rn | untuk c dalam selang yang diberikan, yaitu :

Contoh Galat Pemotongan:

Gunakan deret Taylor orde 4 disekitar x0 = 1, untuk menghampiri ln(0,9) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat

Penyelesaian :
– Tentukan turunan fungsi f(x) = ln(x) terlebih dahulu, yaitu :
f(x) = ln(x)  f(1) = 0 f’”(x) = 2/x3  f’”(1) = 2
f’(x) = 1/x  f’(1) = 1 f(4)(x) = -6/x4  f(4)(1) = -6
f”(x) = -1/x2  f”(1) = -1 f(5)(x) = 24/x5  f(5)(c) = 24/c5

– Deret Taylornya adalah :

Nilai Max |24/c5 | dalam selang 0,9 < c < 1 adalah pada c = 0,9 (karena semakin kecil penyebut, maka nilai pecahan akan semakin besar),
sehingga :

Jadi ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0,0000034

Untuk pembelajaran selanjutnya kita akan membahas tentang Metode Numerik Galat Pembulatan dan Total

Bagi kamu yang ingin mencari artikel yang berkaitan dengan analisis dapat mencarinya disini

Adapun kriteria yang berhubungan dengan metode numerik analisis galat adalah :

• Galat berhubungan dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya
• Semakin kecil galat, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan

Misalkan â adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisihnya disebut dengan Galat, secara matematis :

Galat mutlak → jika tanda (positif atau negatif) tidak  dipertimbangkan

Galat relatif → galat yang dinormalkan terhadap nilai sejatinya, disebut juga galat relatif sejati

Secara matematis :

Galat relatif hampiran galat yang dinormalkan terhadap nilai hampirannya
Secara matematis :

Contoh 1 :
Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3,333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, galat relatif hampiran

Penyelesaian :

• Galat = 10/3 – 3,333 =10/3 – 3333/1000 = 1/3000 = 0,000333…
• Galat mutlak = 0,000333…
• Galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/1000 = 0,0001
• Galat relatif hampiran = (1/3000)/3,333 = 1/9999

Galat relatif hampiran dengan menggunakan pendekatan lelaran (iteration)

Dimana ar+1 = nilai hampiran sekarang dan ar  = nilai hampiran iterasi sebelumnya,  proses iterasi dihentikan bila :

Dengan εs adalah toleransi galat yang dispesifikasikan (semakin kecil  εs semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses iterasinya).

Itu saja dahulu untuk pengantar tentang analisis galat, materi metode numerik selanjutnya kita akan membahas tentang Sumber Utama Galat Numerik.