Aljabar proposisi merupakan penerapan hukum – hukum aljabar dalam logika proposisi. Aljabar proposisi merupakan suatu bentuk logical equivalence dari proposisi – proposisi yang merupakan hukum – hukum yang dapat dipakai untuk penyederhanaan suatu bentuk proposisi.
Hukum – hukum Aljabar proposisi adalah :
1. Idemepoten
p ∨ p ≡ p
p ∧ p ≡ p
2. Asosiatif
(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
3. Komutatif
p ∨ q ≡ q ∨ p
p ∧ q ≡ q ∧ p
4. Distribusi
p ∨ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)
p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
5. Identitas
p ∨ f = p p ∧ f = f
p ∨ t = t p ∧ t = p
6. Komplemen
p∨ ∼ p = t ∼ t = f
p∧ ∼ p = f ∼ f = t
7. Involution
∼ p (∼ p )≡ p
8. De Morgan’s
∼ (p ∧ q) = ∼ p ∨ ∼ q
∼ (p ∨ q) = ∼ p ∧ ∼ q
9. Absorbsi
p ∨ (p ∧ q) = p
p ∧ (p ∨ q) = p
10. Implikasi
p → q = ∼ p ∨ q
11. Biimplikasi
p ↔ q = (p → q)∧(q → p)
12. Kontraposisi
p → q = ∼ q → ∼p
Salah satu manfaat dari hukum – hukum aljabar proposisi adalah untuk menyederhanakan pernyataan gabungan.
Catatan :
Untuk menunjukkkan atau membuktikan bahwa hukum – hukum aljabar proposisi benar silahkan buat tabel kebenarannya dan nyatakan apakah proposisi – proposisi pada hukum – hukum tersebut logical equivalence.
Proposisi t = true merupakan suatu pernyataan yang selalu bernilai benar dan proposisi f = false merupakan suatu pernyataan yang selalu berniali salah.
Pembuktian HK De’morgan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
∼ (p ∧ q) = ∼ p ∨ ∼ q
Pembutian hukum – hukum yang lain silahkan lakukan sebagai saran menguji pemahaman.pernyataan benar = (+), pernyataan salah = (-)
Contoh :
1. Jika pernyataan p = Thoriq tinggi, ∼p = Thoriq pendek dan q = Thoriq besar ∼q = Thoriq kecil maka proposisi berikut adalah equivalence.
a. Tidak benar Thoriq tinggi dan besar = Thoriq pendek atau kecil.
b. tidak benar Thoriq rendah aatau besar = Thoriq tinggi tetapi kecil.
2. jika lawan ( negasi ) dari lebih dari adalah kurang dari atau sama dengan negasi dari kurang dari adalah lebih dari atau sama dengan maka pernyataan – pernyataan berikut equivalence.
a. tidak benar 6 kurang 3 = 6 lebih dari atau sama dengan 3
b. 7 lebih dari 15 dan kurang dari atau sama dengan 6 = tidak benar 7 kurang dari atau sama dengan 15 atau lebih dari 6.
Penejalasan contoh :
1. Pada contoh a proposisi dapat ditulis dalam bentuk : tidak benar Thoriq tinggi dan besar = ∼(p∧q) = ∼pv∼q = Thoriq rendah atau kecil, ini merupakan aplikasi dari hukum de’Morgan jadi keduanya equvalence. pada contoh b dapat ditulis dalam bentuk tidak benar Thoriq rendah atau besar = ∼(∼ pvq ), maka dengan hukum de’Morgan dan involisi kita dapatkan ∼(∼ pvq ) = ∼∼p∧∼q = p∧∼q = Thoriq tinggi tetapi kecil.
2. pada contoh a bila p = 6 < 3 maka ∼p = 6≥3, sehingga kalimat tidak benar 6 kurang dari 3 = ∼p = 6≥3 = 6 lebih dari atau sama dengan tiga. pada contoh b, bila r = 7>15 dan q = 7 ≤ 6, maka ∼r = 7 ≤ 15 dan q = 7 > 6. sehingga kalimat 7 lebih dari 15 dan kurang dari atau sama dengan 6 = r ∧ q = ∼(∼rv∼q) = tidak benar 7 ≤ 15 atau 7 > 6 = tidak benar 7 kurang dari atau sama dengan 25 atau lebih dari 9.
Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Impilikasi dan Biimplikasi. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono