Impilikasi dan Biimplikasi | Matematika Diskrit

Impilkasi

perhatikan pernyataan berikut : Jika kita memakai aplikasi Geany maka Linux adalah sistem operasinya.

Geany adalah salah satu text editor yang bisa digunakan pada sistem operasi Linux, Geany merupakan syarat cukup linux sedangkan linux merupakan syarat perlu bagi Geany, artinya Geany tidak dapat digunakan tanpa Linux tetapi Linux dapat digunakan tanpa ada Geany.

Contoh pernyataan dia tas desebut pernyatan bersyarat atau conditional statement.

Notasi impilkasi :

p → q

dibaca : jika p maka q

Kebenaran implikasi

1. Jika Aplikasi Geany maka Linux sistem operasinya adalah impiliasi benar, karena keduanya buatan linux.
2. Jika Geany maka bukan linux sistem operasinya adalah pernyataan salah, karena sistem Geany adalah Linux.
3. Jika bukan geany maka linux sistem operasinya adalah pernyataan benar karena aplikasi under linux tidak hanya Geany.
4. Jika bukan Geany maka bukan Linux sistem operasinya adalah pernyataan benar, karena aplikasi selain Geany, sistem operasinya bisa jadi bukan Linux.

Tabel kebanaran implikasi sebagai berikut

Misalkan pernyataan p adalah benar, q adalah salah dan r adalah benar, tentukan kebenaran proposisi berikut :Contoh :

(p v q ) → r

Jawab :

Proposisi di atas dapat diubah menjadi :

(t v f ) →f

t →f

f

jadi proposisi di atas salah

bukti dengan tabel :

p	v	q	–	‾r	r
+	+	+		–	+
+		+		+	–
+		–		–	+
+		–		+	–

Konvers, Invers dan Kontraposisi

jika impilkasi : p →q

maka :

Konversnya : q → p

Inversnya : ∼p → ∼q

Kontrapositipnya : ∼q → ∼p

Contoh :

Jika Microsoft Excel maka Windows sistem operasinya adalah impilias yang benar, berdasarkan impilikasi di atas maka :

Konversenya : Jika windows sistem operasinya maka microsft excel aplikastifnya.

Inversenya : jika bukan microsft excel maka bukan windows sistem operasinya.

Kontrapositipnya : jika bukan windwos sistem operasinya maka bukan microsft excel aplikatifnya.

Tabel kebenaran Konvers, Invers dan Kontraposisi

p	q	∼p	∼q	p→q	∼q→∼p	q→p	∼p→∼q
+	+	–	–	+	+	+	+
+	–	–	+	–	–	+	+
–	+	+	–	+	+	–	–
–	–	+	+	+	+	+	+

Jadi dapat disimpulkan bahwa propsisi yang saling kontra – positif mempunyai nilai kebenaran yang sama (equivalen). Berdasarkan sifat tersebut maka kita dapat membuktikan suatu dalil dalma bentuk implikasi melalui nilai kebenaran kontra – positipnya.

Contoh :

Buktikan bahwa :

Jika x² bilangan genap, maka x juga bilangan genap

dapat ditulis : x² = genap  → x = genap

Jawab :

Kontrapositif dari impikasi di atas adalah :

jika x bukan bilangan genap maka x² juga bukan bilangan genap.

dapat ditulis :

jika x = ganjil maka x² = ganjil

Setiap bilangan bulat bukan genap adalah ganjil, sehingga x ganjil ditulis x = 2k + 1, k bilangan bulat, akibatnya :

x² = (2k + 1)²

= 4k² + 4k +1

= 2 (2k² + 2K) + 1

karena :

k = bilangan bulat maka :

k² = juga bilangan bulat

2k = juga bilangan genap

2k² + 2k juga bilangan genap

sehinga x² = bilangan ganjil, karena bilangan genap ditambah 1 sama dengan bilangan ganjil. Jadi Kontrapositipnya benar akibatnya implikasinya juga benar.

Biimplikasi

Perhatikan pernyataan berikut :

Microsoft excel jika dan hanya jika ingin membuat dokumen dengan sistem operasi Windows

Pernyataan tersebut di atas disebut biimplikasi atau bicondtional statement.

Notasi biimplikasi : p ↔ q

dibaca p jika dan hanya jika q

Kebenaraan Biimplikasi

1. Microsoft Word jika dan hanya jika ingin membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan benar.
2. Microsoft Word jika dan hanya jika tidak membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan salah.
3. Bukan Microsoft Word jika dan hanya jika membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan salah.
4. Bukan Microsoft Word jika dan hanya jika tidak membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan benar.

Tabel Kebenaran Biimplikasi :

p	q	p↔q
+	+	+
+	–	–
–	+	–
–	–	+

Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Argumentasi Matematika Diskrit untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono