Distribusi Probabilitas Bersama

Distribusi probabilitas dengan 2 variabel → Distribusi Probabilitas Bivariat. Distribusi probabilitas dengan > 2 variabel → Distribusi Probabilitas Multivariat.

Definisi

Jika X dan Y adalah variabel random disktrit, maka distribusi probabilitas bersama untuk  x dan y dinyatakan dengan :

Sifat-sifat fungsi probabilitas bersama

Contoh :

Dua isi ballpoint dipilih secara random dari sebuah kotak yang berisi 3 warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Apabila X menyatakan banyaknya ballpoint yang isinya berwarna biru dan Y menyatakan banyaknya ballpoint yang isinya berwarna merah yang terpilih. Tentukan distribusi probabilitas bersama f(x, y) dan P[(x, y) ∈ A] bila A menyatakan daerah   {(x, y) ; x + y ≤ 1}, dan tentukan P(A).

Jawab :

– X = banyaknya ballpoint isi biru, nilai x yang mungkin = 0, 1, 2

– Y = banyaknya ballpoint isi merah, nilai y yang mungkin = 0, 1, 2

Banyaknya cara melakukan pengambilan    2 ballpoint dari seluruh ballpoint adalah :

Sehingga banyaknya cara pengambilan    x ballpoint berwarna biru :

Jadi Banyaknya cara pengambilan       y ballpoint berwarna merah :

Karena variabel yang diamati hanya banyaknya pena berwarna biru dan merah yang terpilih, maka banyaknya cara pengambilan ballpoint berwarna hijau :

Sehigga

–   untuk x = 0 dan y = 0 → tidak ada ballpoint warna merah atau biru yang terambil, peluangnya adalah :

 

– x = 1, y = 0 → yang terambil 1 ballpoin biru 0 ballpoint merah.

 

Tabel distribusi probabilitas bersama

Jika A = {(x, y) ; x + y £ 1}  → A = {(0,0), (0,1), (1,0)}

Sehingga P(A) = p(0,0) + p(0,1) + p(1,0) = …

Fungsi Distribusi Probabilitas Bersama

Untuk sebarang variabel random X dan Y , fungsi distribusi bersama F(a,b) dinyatakan sebagai :

variabel  X dan Y variabel diskrit, maka :

Kemudian Variabel X dan Y variabel kontiniu, jika terdapat fungsi tidak negatif f(a, b) sedemikian hingga untuk sembarang bilangan real a dan b, berlaku :

Dimana fungsi f(x, y)

fungsi kepadatan probabilitas bersama

Contoh :

Diberikan fungsi kepadatan probabilitas bersama f(x, y) = 4xy untuk             0 < x < 1 dan 0 < y < 1. Tentukan :

1. P( X < 0,5 ; Y < 0,5 )
2. P( X + Y < 1 )

Jawab :

Baca juga artikel menarik tentang Nilai Harapan atau Ekspektasi Matematik

Nilai Harapan  Distribusi Probabilitas Bersama

 Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan  f(x,y), maka  nilai harapan  perubah acak  g(X,Y) adalah :

Contoh

Berdasarkan tabel distribusi probabilitas bersama untuk pemilihan ballpoint pada contoh sebelumnya, maka nilai harapannya adalah :

Covariansi

Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata μx  dan μy  diberikan oleh rumus:

Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan  f(x,y), maka  kovariansi  X dan Y adalah

Teman – teman juga bisa menonton video tentang Distribusi Probabilitas Bersama pada Teori Peluang