Bentuk Umum Sistem Persamaan Lanjar

Dalam bentuk matriks, SPL dapat ditulis sebagai persamaan matriks :

Ax = b

Dimana :

A = [aij ] -> matriks berukuran m x n

x  = [xj ] -> matrik berukurnan m  x 1

b  = [bj ] -> matriks berukuran m x 1

(vektor kolom)

Sebelum masuk ke pembahasan metode eliminasi gauss, silahkan di baca pembahasan tentang Interpolasi Numerik

Metode Eliminasi Gauss

bagi teman – teman yang belum tahu siapa itu gauss, dapat membaca artikel berikut ini

Mengubah matriks Ax = b menjadi matriks Ux = y, dengan U = matriks segitiga atas, kemudian menggunakan  teknik penyulihan mundur (backward subsitution) untuk menghitung solusinya

Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh hasil :

Proses eliminasi terdiri dari tiga operasi baris elementer :

1.Pertukaran -> urutan dua persamaan dapat ditukar

2.Penskalaan -> persamaan dapat dikali dengan konstanta bukan 0

3.Penggantian -> Persamaan dapat diganti misalnya dengan penjumlahan / selisih persamaan itu dengan dua kali persamaan lain.

Contoh 1:

Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi Gauss :

Penyelesaian :

Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh solusi dari SPL tsb, yaitu :

Elemen Pivot

Nilai  ap, p pada posisi (p , p) yang digunakan untuk mengeliminasi  xp  pada baris  p + 1, p +2, …, n dinamakan elemen  pivot dan persamaan pada baris tersebut disebut  persamaan pivot

Apabila elemen pivot ini bernilai 0, maka baris ke-k tidak dapat digunakan untuk mengeliminasi elemen pada kolom p karena terjadi pembagian dengan bilangan 0

Strategi Pivoting

Strategi pivoting pada metode numerik, Jika elemen pivot (ap,p ) = 0, cari baris k dengan ak,p  ¹ 0 dengan k > p, lalu pertukarkan baris p dan baris k

Contoh 2 :

Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi gauss yang menerapkan strategi pivoting

Penyelesaian :

Untuk menghindari pembagian dengan angka 0, elemen baris ke-2 ditukar dengan elemen baris ke-3

Karena sudah terbentuk matriks segitiga atas, maka dengan teknik penyulihan mundur, didapatkan hasil :

Pivoting Sebagian (Partial Pivoting)

Strategi pivoting sebagian -> pivot dipilih dari semua elemen kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar, kemudian pertukarkan baris ke-k dengan baris ke-p

Pivoting Lengkap (Complete Pivoting)

Strategi -> Kolom juga diikutkan dalam pencarian elemen terbesar kemudian dipertukarkan

Pertukaran kolom mengakibatkan perubahan urutan suku x sehingga jarang digunakan dalam program sederhana.

Contoh 3 :

Dengan menggunakan 4 angka bena, selesaikan sistem persamaan berikut :

0.0003x1 + 1.566x2 = 1.569

0.3454x1 – 2.436x2 = 1.018

a.Tanpa strategi pivoting (eliminasi Gauss naif)

b.Dengan strategi pivoting sebagian (eliminasi yang dimodifikasi)

Catt : dengan 4 angka bena, solusi sejatinya adalah x1 =10.00 dan x2 = 1.00

Penyelesaian :

Penskalaan

Strategi -> membagi tiap baris persamaan dengan nilai mutlak koefisien terbesar diruas kirinya, dinamakan juga dengan menormalkan SPL

Contoh 4 :

Selesaikan SPL berikut sampai dengan 3 angka bena menggunakan metode eliminasi Gauss tanpa penskalaan dan dengan penskalaan

 

Penyelesaian :

Latihan

Selesaikan SPL berikut ini dengan metode :

a.Eliminasi Gauss tanpa pivoting

b.Eliminasi Gauss dengan pivoting

Subsitusikan nilai x1 , x2 dan x3 yang anda peroleh ke dalam SPL lalu bandingkan hasilnya dengan ruas kanan (vektor b)

Untuk

penulis ( Rini Budiarni, M.T )