Definisi

Jika p(x, y) menyatakan distribusi probabilitas bersama variabel acak X dan Y sedangkan h(y) menyatakan distribusi probabilitas marginal variabel Y , dan g(x) menyatakan distribusi probabilitas marginal X, maka:

Distribusi probabilitas bersyarat untuk X bila diberikan variabel Y = y dinyatakan dengan :

Dan distribusi probabilitas bersyarat untuk Y bila diberikan variabel X = x dinyatakan dengan :

Nilai Harapan Probabilitas Bersyarat

Jika X dan Y adalah variabel acak bersama, maka nilai harapan bersyarat dari X bila diberikan Y = y didefinisikan dengan :

Contoh :

1. Diketahui X dan Y mempunyai fungsi distribusi probabilitas bersama sbb :

a.Tentukan distribusi bersyarat untuk X jika diberikan Y = 1

b.Tentukan distribusi bersyarat untuk Y jika X = 2

c.Tentukan nilai harapan X bila Y = 1

Baca juga artikel menarik tentang Distribusi Probabilitas Marginal Pada Teori Peluang

2. Misalkan diketahui variabel acak X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama.

Tentukan :

a.Fungsi kepadatan probabilitas bersyarat Y jika X = x.

b.Fungsi kepadatan probabilitas bersyarat X jika Y = y.

c.Probabilitas X £ 0,5 jika Y = 0,75.

d.Nilai harapan E[Y|X].

Jawab :

a. Fungsi distribusi probabilitas marginal X

Sehingga fungsi kepadatan probabilitas bersyarat Y jika X = x adalah :

b. Fungsi distribusi probabilitas marginal X

Sehingga fungsi kepadatan probabilitas bersyarat X jika Y = y adalah :

Teman – teman juga bisa menonton video tentang Belajar Statistika Matematika : Distribusi Peluang Bersyarat disini

Apabila kita mempunyai distribusi bersama dari dua peubah acak X dan Y (bisa diskrit semua atau kontinu semua), maka kita dapat menentukan distribusi untuk masing-masing peubah acak Distribusi Probabilitas Marginal.

Jika X dan Y adalah variabel random diskrit bersama dengan fungsi probabilitas bersama p(x, y), maka fungsi probabilitas marginal dari X dan Y masing-masing dinyatakan dengan :

Sehingga variabel X dan Y adalah variabel random kontiniu bersama dengan fungsi kepadatan probabilitas (pdf) bersama f(x, y), maka fungsi kepadatan probabilitas marginal dari X dan Y masing-masing dinyatakan dengan :

Baca juga artikel sebelumnya tentang Distribusi Probabilitas Bersama pada Teori Peluang

Contoh :

Diketahui variabel random X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama sbb :

Tentukan :

a.Fungsi probabilitas marginal X dan Y

b.Nilai harapan X dan Y

c.P(X £ 2)

Jawab :

a.Fungsi probabilitas marginal X

X = 1 → g(x) = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) = 1/12 + 1/6 + 0 = …….

X = 2 → g(x) = f(2,1) + f(2,2) + f(2,3) = 0 + 1/9 + 1/5 = ……

X = 3 → g(x) = ….

Fungsi probabilitas marginal Y

Y = 1 → h(y) = …

Y = 2 → h(y) = …

Y = 3 → h(y) = …

Diketahui bahwa variabel random X dan Y saling bebas dan masing-masing mempunyai fungsi probabilitas sbb :

– Fungsi probabilitas marginal X à g(1) =0,2  g(2) = 0,3 dan g(3) = 0,5

– Fungsi probabilitas marginal Y à h(1) = 0,4 h(2) = 0,5 dan h(2) = 0,1

Tentukan fungsi probabilitas bersama X dan Y dan P(X+Y ≤ 4)

Jawab :

Karena f(x,y) = g(x)h(y) maka :

f(1,1) = g(1)h(1) = (0,2)(0,4)=0,08

f(1,2) = g(1)h(2) = (0,2)(0,3) = 0,06

f(1,3) = ..

f(2,1) = ..

f(2,2) = ..

f(2,3) = ..

f(3,1) = ..

f(3,2) = ..

f(3,3) = ..

P(X+Y ≤ 4)   = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + f(2,1) + f(2,2) + f(3,1)

= …………………………….

2. Diketahui

Untuk 0 ≤ x ≤ y ≤ 1

Untuk x dan y lainnya.

a.Tentukan fungsi kepadatan probabilitas marginal X

b.Tentukan fungsi kepadatan probabilitas marginal Y

c.Tentukan P( Y > 2X )

Jawab 

Latihan :

1. Dalam pemilihan pengurus koperasi terdapat 4 calon dari RW 1, 5 calon dari RW 2 dan 3 calon dari RW 3. Jika 3 orang dipilih secara acak sebagai pengurus koperasi dan diketahui X merupakan banyaknya pengurus yang terpilih dari RW 1 dan Y merupakan banyaknya pengurus yang terpilih dari RW 3,  tentukan :

a.Distribusi probabilitas bersama variabel X dan Y

b.Distribusi probabilitas marginal X dan Y

c.Nilai harapan probabilitas bersama

d.P(X + Y <3)

2. Diketahui variabel acak X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama sbb :

Tentukan :

a.Fungsi kepadatan probabilitas marginal X.

b.Fungsi kepadatan probabilitas marginal Y.

c.P( X > 2Y )

Teman – teman juga bisa menonton video tentan Distribusi Peluang | Distribusi Peluang Gabungan, Distribusi Marginal, dan Distribusi Bersyarat

Distribusi probabilitas dengan 2 variabel → Distribusi Probabilitas Bivariat. Distribusi probabilitas dengan > 2 variabel → Distribusi Probabilitas Multivariat.

Definisi

Jika X dan Y adalah variabel random disktrit, maka distribusi probabilitas bersama untuk  x dan y dinyatakan dengan :

Sifat-sifat fungsi probabilitas bersama

Contoh :

Dua isi ballpoint dipilih secara random dari sebuah kotak yang berisi 3 warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Apabila X menyatakan banyaknya ballpoint yang isinya berwarna biru dan Y menyatakan banyaknya ballpoint yang isinya berwarna merah yang terpilih. Tentukan distribusi probabilitas bersama f(x, y) dan P[(x, y) ∈ A] bila A menyatakan daerah   {(x, y) ; x + y ≤ 1}, dan tentukan P(A).

Jawab :

– X = banyaknya ballpoint isi biru, nilai x yang mungkin = 0, 1, 2

– Y = banyaknya ballpoint isi merah, nilai y yang mungkin = 0, 1, 2

Banyaknya cara melakukan pengambilan    2 ballpoint dari seluruh ballpoint adalah :

Sehingga banyaknya cara pengambilan    x ballpoint berwarna biru :

Jadi Banyaknya cara pengambilan       y ballpoint berwarna merah :

Karena variabel yang diamati hanya banyaknya pena berwarna biru dan merah yang terpilih, maka banyaknya cara pengambilan ballpoint berwarna hijau :

Sehigga

–   untuk x = 0 dan y = 0 → tidak ada ballpoint warna merah atau biru yang terambil, peluangnya adalah :

– x = 1, y = 0 → yang terambil 1 ballpoin biru 0 ballpoint merah.

Tabel distribusi probabilitas bersama

Jika A = {(x, y) ; x + y £ 1}  → A = {(0,0), (0,1), (1,0)}

Sehingga P(A) = p(0,0) + p(0,1) + p(1,0) = …

Fungsi Distribusi Probabilitas Bersama

Untuk sebarang variabel random X dan Y , fungsi distribusi bersama F(a,b) dinyatakan sebagai :

variabel  X dan Y variabel diskrit, maka :

Kemudian Variabel X dan Y variabel kontiniu, jika terdapat fungsi tidak negatif f(a, b) sedemikian hingga untuk sembarang bilangan real a dan b, berlaku :

Dimana fungsi f(x, y)

fungsi kepadatan probabilitas bersama

Contoh :

Diberikan fungsi kepadatan probabilitas bersama f(x, y) = 4xy untuk             0 < x < 1 dan 0 < y < 1. Tentukan :

1. P( X < 0,5 ; Y < 0,5 )
2. P( X + Y < 1 )

Jawab :

Baca juga artikel menarik tentang Nilai Harapan atau Ekspektasi Matematik

Nilai Harapan  Distribusi Probabilitas Bersama

 Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan  f(x,y), maka  nilai harapan  perubah acak  g(X,Y) adalah :

Contoh

Berdasarkan tabel distribusi probabilitas bersama untuk pemilihan ballpoint pada contoh sebelumnya, maka nilai harapannya adalah :

Covariansi

Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata μx  dan μy  diberikan oleh rumus:

Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan  f(x,y), maka  kovariansi  X dan Y adalah

Teman – teman juga bisa menonton video tentang Distribusi Probabilitas Bersama pada Teori Peluang

• Distribusi ini hanya mengenal dua keadaan, yaitu berhasil atau gagal.
• Distribusi ini sering disebut juga sebagai proses Bernoulli (Bernoulli trials).

Ciri-ciri proses Bernoulli:

1. Ada dua kejadian yang bisa terjadi dan saling asing  pada setiap percobaan, yaitu: sukses dan gagal.
2. Urutan dari percobaan tersebut merupakan kejadian  independen
3. Probabilitas sukses dinyatakan sebagai p, dimana nilai  p ini tetap dari satu percobaan ke percobaan  berikutnya atau dari satu kejadian ke kejadian lainnya.

Ada tiga nilai yang diperlukan dalam proses Bernoulli:

• jumlah percobaan → n dimana setiap hasil keluaran saling independen,
• jumlah keberhasilan → X
• probabilitas keberhasilan dari X → p

Contoh :

Sebuah proses Bernoulli untuk QC dilakukan dengan memilih 3  komponen secara simultan dari sebuah proses produksi. Setiap  komponen yg diambil dinyatakan “sukses” jika berkondisi baik, dan  “gagal” jika ternyata komponen tersebut . Variabel random X didefinisikan sebagai  banyaknya “sukses” dalam pengambilan 3 komponen tsb, maka :

Ruang sampel bagi X adalah (S: sukses, G: gagal) :

Misalkan diketahui dari proses QC tahun lalu, sebanyak 75% produksi komponen  tersebut berkondisi baik (“S”). Jadi probabilitas 1 kali pengambilan menghasilkan kondisi baik = probabilitas “sukses”

→ p = 3/4, berarti  probabilitas “gagal” q = 1 – 3/4 =1/4

Untuk  X = 1, ada 3 keluaran hasil yaitu : SGG, GSG, GGS

p(SGG) = (¾) . (¼) . (¼) = 3/64

jika f( X = 1 ) menyatakan probabilitas X = 1, maka probabilitasnya :

Baca juga artikel tentang Hukum Peluang Total Pada Teori Peluang

Fungsi Distribusi Binomial

Proses Bernoulli dimana pada tiap percobaan memiliki probabilitas sukses p (atau probabilitas gagal q = 1 – p ), maka fungsi distribusi probabilitas  f(x) dapat dinyatakan dengan persamaan kombinasi, yaitu :

Yang berarti bahwa dari n kali percobaan yang independen mengandung x buah hasil keluaran “sukses”

Sifat dari f(x : n , p) sebagai fungsi probabilitas :

• Nilai mean dan varians dari distribusi Binomial ditentukan oleh berbagai peristiwa yang dihasilkan dari percobaan Binomial.
• Jika sebuah variabel X terdiri dari n percobaan, dimana tiap kali hasil percobaannya disebut Lk yg bisa bernilai “sukses” atau “gagal” dengan probabilitas “sukses” = p.
• Maka mean dari populasi distribusi Binomial dinyatakan

Varians dari total populasi distribusi binomial

Contoh :

Dari hasil penelitian didapatkan bahwa probabilitas  seseorang untuk sembuh dari sakit kanker dengan  pemberian obat tertentu adalah 60%. Jika diambil 10  orang yang terjangkit penyakit secara acak, hitung:

1. Probabilitas tidak lebih dari 3 orang untuk sembuh
2. Probabilitas sedikitnya 5 orang untuk sembuh
3. Hitung rata-rata dan simpangan baku pasien sembuh

Jawab :  1.

Jawaban soal no. 2

Jawaban soal no. 3

Distribusi Multinomial

Percobaan BINOMIAL akan menjadi percobaan MULTINOMIAL apabila tiap percobaan dapat memberikan lebih dari DUA hasil yang mungkin.

Ciri-ciri :

1. Terdiri dari n kali percobaan yan identik
2. Terdapat k jenis keluaran untuk tiap percobaan
3. Peluang dari masing-masing keluaran adalah p1 , p2 , … , pk bernilai tetap dari satu percobaan ke percobaan yang lain dan p1 + p2 + … + pk  = 1
4. Semua percobaan bersifat independen (bebas)
5. Variabel acak multinomial adalah Y1 , Y2 , … Yk untuk setiap k jenis keluaran

Probabilitas distribusi multinomial dinyatakan dengan :

dimana :

pi = peluang keluaran ke-i dalam percobaan tunggal

n = y1 + y2 + … + yk = jumlah percobaan

yi = jumlah kemunculan keluaran ke-i dalam n percobaan

Contoh :

Sebuah penelitian menunjukkan bahwa 10% monitor komputer memberikan radiasi tinggi, 30% sedang, dan 60% rendah. Bila diambil sampel acak 40 monitor dari sebuah populasi, hitunglah :

1. Peluang bahwa 10 monitor memiliki radiasi tinggi, 10 sedang dan 20 rendah
2. Rata-rata dan varians monitor dengan radiasi tinggi dari 40 monitor yang terpilih sebagai sampel

Jawab :

a.Ditentukan :

y1 = jumlah monitor dengan radiasi tinggi =

y2 = jumlah monitor dengan radiasi sedang =

y3 = jumlah monitor dengan radiasi rendah =

p1 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi tinggi =

p2 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi sedang =

p3 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi rendah  =

Rata-rata dan varians terpilihnya monitor dengan radiasi tinggi :

Distribusi Binomial Negatif

Percobaan BINOMIAL NEGATIF ingin mengetahui peluang bahwa sukses  ke – r terjadi pada percobaan ke – x. Sehingga distribusi BINOMIAL NEGATIF merupakan banyaknya percobaan yang berakhir tepat pada sukses ke – r.

Ciri – ciri

1.Kondisi umum IDENTIK dengan distribusi peluang binomial

2.Pengecualian pada perubahan definisi variabel random Y.

y = jumlah trial yang diperlukan untuk memperoleh keluaran S (SUKSES) ke – i.

Contoh :

Untuk memasang baut, digunakan sebuah peralatan elektrik dengan tingkat keberhasilan 0,8 dalam selang waktu 1 detik. Jika operator gagal memasang baut dalam selang waktu 1 detik pertama, tingkat keberhasilan pemasangan pada selang waktu 1 detik kedua dianggap tetap 0,8.dalam 1 rangkaian assembly, terdapat 4 baut yang harus dipasang. Tentukan :

1. Distribusi probabilitas y, yaitu waktu (detik) yang diperlukan untuk memasang ke-4 baut dalam 1 assembly.
2. Peluang bahwa waktu yang diperlukan untuk memasang ke-4 baut tersebut adalah 6 detik

teman – teman bisa juga melihat video tutorial tentan Distribusi Binomial (Contoh Soal)