Sebelumnya kita sudah membahas tentang Metode Numerik Interpolasi Newton, bagi teman – teman yang belum apa itu Metode Numerik Interpolasi Newton dapat membaca artikel sebelumnya.

Menggunakan fungsi pendekatan kuadrat -> kurva berbentuk parabola. Merupakan interpolasi linier menggunakan tiga titik (x0,y0) (x1,y1) dan (x2,y2) yang berada paling dekat dengan nilai x Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk :

 Polinom kuadrat / Polinom derajat 2

Dengan mensubsitusikan nilai (x0, y0) (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan, maka akan diperoleh tiga buah persamaan sebagai berikut :

Nilai a0 , a1 dan a2 dapat dicari dengan metode eliminasi Gauss

Contoh :

Dari data

Tentukan ln(9,2) dengan interpolasi kuadratik (gunakan 5 angka bena)

Penyelesaian sistem persamaan  dengan metode eliminasi Gauss menghasilkan a0 = 0.6762, a1 = 0.2266 dan a3 = -0.0064, sehingga polinom kuadratnya adalah :

Tingkat ketelitian 5 angka bena

Interpolasi Lagrange

Persamaan polinom lanjar

Dapat diatur kembali menjadi :

jika :

Maka :

Bagi teman – teman yang ingin mencari jurnal tentang penerapan Interpolasi Lagrange, dapat membaca jurnal tentang Aplikasi Interpolasi Lagrange dan Ekstrapolasi dalam Peramalan Jumlah Penduduk

Polinom Lagrange derajat 1

Sehingga bentuk umum polinom Lagrange derajat £ n untuk (n+1) titik berbeda adalah :

Contoh :

Dari data

Tentukan nilai y pada x = 5, dengan polinom lagrange derajat 2

Jawab :

Polinom lagrange derajat 2 -> tiga titik data yaitu : (1, 3) (4, 5) dan (7, 6) Bentuk polinom lagrange derajat 2 adalah :

Hasil penelitian/percobaan biasanya berupa data diskrit yang disajikan dalam bentuk tabel.

Contohnya :

Tabel diatas merupakan data hasil pengukuran fisika yang telah dilakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan-karat (x) dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah (y)

Persoalan -> Bagaimana cara menentukan nilai y diantara nilai-nilai x tersebut  (misalnya x = 7) tanpa harus melakukan pengukuran lagi, dan fungsi yang menghubungkan variabel y dengan variabel x tidak diketahui?

Solusinya -> mencari fungsi yang mencocokan (fit) titik-titik data didalam tabel à Pencocokan Kurva (curve fitting)

Pencocokan Kurva  sebuah metode yang mencocokan titik data dengan sebuah kurva

Digunakan untuk menghitung nilai fungsi, menghitung nilai turunan dan menghitung nilai integral.

Salah satu metode pencocokan kurva -> Interpolasi. Interpolasi mencari nilai-nilai antara yang tidak ada pada data. Biasanya digunakan pada data yang mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, sehingga kurva  cocokannya dibuat melalui setiap titik.

teman – teman dapat juga mendownload artikel tentang interpolasi numerik pada link berikut ini

Interpolasi Lanjar

Interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Menggunakan dua titik (x0 , y0) dan (x1 , y1) yang berada paling dekat dengan nilai x. Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:

Dengan mensubsitusikan (x0 ,  y0) dan (x1,  y1) ke dalam persamaan diatas, maka diperoleh dua buah persamaan lanjar yaitu :

Dengan mengeliminasi nilai a0 , dapat ditentukan nilai a1 , yaituSubsitusikan nilai a1 kedalam persamaan untuk menentukan nilai a0 , yaitu :

Subsitusikan nilai a0 dan a1  kedalam persamaan garis, sehingga :

Dengan melakukan manipulasi aljabar, persamaan diatas dapat disusun menjadi :

Polinom lanjar / Polinom derajat 1

Contoh :

1.Diketahui data sbb : Tentukan nilai y, untuk x = 5 dan x = 9

Jawab :

Untuk x = 5, maka (x0 , y0) -> (4,00 ; 5,00)

(x1 , y1) -> (7,00 ; 6,00)

Untuk x = 9, maka (x0 , y0) ->

(x1 , y1) ->

2. Dari data ln(9.0) = 2.1972 ln(9.5) = 2.2513. Tentukan ln(9,2) dengan interpolasi lanjar (gunakan 5 angka bena)

Jawab :

Untuk ln(9,2) ->   (x0 , y0) -> (9.0 ; 2.1972)

(x1 , y1) ->(9.5 ; 2.2513)

Jika dibandingkan dengan nilai sejatinya ln(9,2) = 2.2192, maka galat yang dihasilkan dari interpolasi lanjar adalah :

e = 2.2192 -2.2188 = 0.0004 -> ketelitiannya hanya sampai 3 angka bena.

Silahkan juga di baca tentang Metode Numerik : Interpolasi Kuadratik