Jika terjadi f’(x) = 0, ulang kembali perhitungan dengan nilai x0 yang lain. Jika persamaan f(x) = 0 memiliki lebih dari satu akar, pemilihan x0 yang berbeda-beda dapat menenmukan akar yang lain. Dapat pula terjadi lelaran konvergen ke akar yang berbeda dari yang diharapkan.

Baca juga artikel tentang Tautologi, Kontradiksi dan Kesetaraan Logis

Algoritma Metode Newton Raphson

1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x)
2. Tentukan toleransi error (∈) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f’(x0)
5. Untuk iterasi i = 1 s/d n atau |f(xi)| ³ e

Hitung f(xi) dan f’(xi)

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

Contoh 2 :

Hitunglah akar f(x) = ex – 5x2   dengan metode Newton Raphson dengan tebakan awal x0 = 0.5 dan gunakan ε = 0.00001

Penyelesaian :

Contoh 3 :

Tentukan bagaimana cara menentukan nilai √c

dengan metode Newton Raphson

Penyelesaian :

Misalkan √c = x -> kuadratkan kedua ruas -> c = x2  -> x2 – c = 0 -> f(x)

Kriteria konvergensi metode Newton-Raphson

Jika metode Newton-Raphson konvergen, maka kekonvergenannya akan berlangsung cepat -> lelarannya lebih sedikit . Pemilihan tebakan awal akar sebaiknya cukup dekat dengan akar sejatinya dengan membuat grafik fungsi dapat diketahui apakah fungsi tersebut mempunyai akar atau tidak.

Metode Newton-Raphson akan konvergen bila :

teman – teman dapat juga menonton video tentang Contoh Soal Metode Lelaran Titik Tetap

• Metode Fixed-Point
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant

 METODE TERBUKA

Metode Lelaran Titik Tetap (fixed-point iteration)

– Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x)

– Bentuk prosedur lelaran  xr+1 = g(xr)

– Tentukan nilai awal x0  lalu hitung nilai x1 , x2 , dst yang mudah2an  konvergen ke akar sejati

– Kondisi berhenti dinyatakan bila : | xr+1 – xr | < ε

Kriteria Konvergensi

Teorema : Misalkan g(x) dan  g'(x) menerus di dalam selang [a,b] = [ s-h, s+h] yang mengandung titik tetap  s dan nilai awal  x0 dipilih dalam selang tersebut.

Jika  |g'(x)|< 1 untuk semua   x  Î [a,  b] maka lelaran  xr+1 =  g(xr) akan konvergen ke s.  Pada kasus ini s disebut juga  titik atraktif .

Jika  |g'(x)| > 1 untuk semua x  Î [a, b] maka lelaran xr+1 =  g(xr) akan divergen dari  s.

Berdasarkan teorema tersebut, dapat disimpulkan :

Didalam selang I =[ s-h, s+h ] dengan s  titik tetap ,

-Jika 0 < g’(x) < 1 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya konvergen monoton

-Jika -1 < g’(x) < 0 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya konvergen berosilasi

-Jika  g’(x) > 1 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya divergen monoton

-Jika  g’(x) < -1 untuk setiap x ∈ I , maka lelarannya divergen berosilasi

Contoh  1 :

Carilah akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 = 0,  gunakan  ε = 0.000001

Penyelesaian :

Terdapat beberapa kemungkinan prosedur     lelaran yang dapat dibentuk

1. x2 – 2x – 3 = 0 -> x2 = 2x – 3

x = √(2x + 3) -> g(x)

Jika terkaan awal x0 = 4

Untuk g(x) = √(2x + 3)

Grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 3, pada selang [-5, 5]

Grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 3 pada selang [-2, 5]

Latihan :

Temukan akar persamaan dari f(x) = 2x2 + 10x -20, dengan menggunakan metode Lelaran Titik Tetap (Fixed Point) dengan x0 = 1 dan ε = 0.00001

Bagi teman – teman yang sudah mempelajari solusi persamaan nirlanjar II dapat melanjutkan dengan Metode Numerik : Metode Eliminasi Gauss Pivoting Penskalaan.

Silahkan bagi teman – teman yang belum memahami tentang solusi persamaan nirlanjar II dapat juga menonton video berikut ini Solusi persamaan nirlanjar