Nilai Harapan atau Ekspektasi Matematik

Nilai harapan/ekspektasi adalah harapan/perkiraan rata-rata nilai yang muncul.

Notasi → E(X) Untuk suatu variabel acak diskrit X yang memiliki nilai-nilai yang mungkin x1 , x2, …, xn , nilai harapan dari X didefinisikan sebagai :

Contoh :

Suatu percobaan dua uang logam yang dilantunkan 16 kali. Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul per lantunan, maka X dapat berharga 0, 1, dan 2. Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan sebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka rata-rata banyaknya sisi muka per lantunan [=nilai harapan matematik] adalah :

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x),  maka nilai harapan (atau rata-rata) perubah acak X adalah :

Contoh :

1. Carilah nilai harapan banyaknya mahasiswa IF yang duduk dalam suatu kepanitiaan yang berjumlah 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 mhs IF dan 3 mhs TK

Jawab :

 Misalkan X = banyaknya mhs IF dalam panitia.

X = {0, 1, 2, 3}

Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai :

sehingga

Jadi nilai harapan banyaknya mhs IF yang duduk dalam kepanitiaan  adalah:

2. Hitunglah harapan umur dari bolam lampu, jika diketahui bahwa X perubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) dari bolam lampu, yang dinyatakan dalam bentuk berikut:

 

Jawab :

Jadi bola lampu tersebut dapat diharapkan berumur 200 jam.

Baca juga artikel sebelumnya tentang Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontiniu

Teorema

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x),  maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah :

Contoh :

1. Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini:

Jika diketahui bahwa g(X) = 2X-1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah),maka tentukan pendapatan yang diharapan  karyawan perusahaan tersebut.

Jadi  harapan penerimaan upah para karyawan = Rp …….

2. Hitunglah nilai harapan g(x) = 4x + 3, jika X merupakan suatu variabel acak dengan fungsi padat pobabilitas:

Jawab :

Silahkan teman – teman tonton juga video tentang Nilai Harapan (Ekspektasi) Peubah Acak Ganda Dua