1. Tautologi

Tautologi adalah proposisi yang selalu benar apapun pernyataannya.

Notasi taulogi adalah sebagai berikut :

p v ∼p

Contoh :

p = Memori adalah alat yang menentukan besarnya penyimpanan data pada komputer adalah pernyataan salah

∼p = adalah salah bahwa memori adalah alat yang mementukan besarnya penyimpanan data komputer adalah pernyataan benar.

maka :

pv ∼ p adalah proposisi yang benar

Tabel kebenaran tautologi adalah sebagai berikut :

atau

2. Kontradiksi

kontradiksi adalah proposisi yang selalu salah apapun pernyataanya

Notasi kontradiksi :

p∧ ∼ p

Contoh :

p = Processor adalah sebuah alat yang menentukan kecepatan jaringan internet adalah pernyataan salah

∼p  = adalah salah bahawa processor adalah sebuah alat yang menentukan kecepatan jaringan internet adalah pernyataan benar.

maka :

p∧ ∼ p adalah proposisi yang salah

Tabel kebenaran dari kontradiksi adalah sebagai berikut :

Kesetaraan Logis

Dua buah pernyataan yang berbeda dikatakan setara bila nilai kebenarannya sama

Contoh :

1. Tidak benar, bahwa aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan benar.
2. Aljabar Boole adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan benar.

Kedua pernyataan di atas mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jadi kedua pernyataan di atas setara/ekivalen.

Akibatnya dua proposisi P (p, q, r, … ) dan Q (p, q, r, … ) dapat dikatakan setara jika memiliki table kebenaran yang sama. Dua buah proposisi yang setara dapat dinyatakan dengan P(p, q, r, … ) ≡ Q (p, q, r, …).

Contoh :

selidiki apakah kedua proposisi di bawah setara :

1. Tidak benar, bahwa sistem bilangan biner digunakan dalam sistem digital atau sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.
2. Sistem bilangan biner tidak digunakan dalam sistem digital dan tidak benar bahwa sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.

Kedua proposisi di atas dapat dituliskan dengan notasi sebagai berikut :

1. ∼(p v q)
2. ∼p∧ ∼ q)

Sehingga tabel kebenarannya sebagai berikut :

jadi, kedua proposisi tersebut setara atau ∼(p v q ) ≡ ∼p∧∼q

Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Aljabar Proposisi. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

NAND adalah pernyataan gabungan yang dihasilkan dari menegasikan konjungsi. Dimana notasi NAND tersebut dapat di buatkan sebuah pernyataan

∼(p ∧ q),(p ∧ q)‘

kerena dalam NAND tersebut negasi dari jongsi, maka dapat di buatkan dalam tabel kebenaran NAND sebagai berikut :

atau

Exlusive or (exor )

Exor adalah sebuah pernyataan gabungan dimana salah satu p atau q ( tidak kedua – duanya ) adalah benar. Dalam notasi exor dapat disimpulkan :

Contoh :

p = sisitem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, dapat berbeda secara terus menerus melebihi jarak tertentu, adalah pernyataan benar.

q= sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlianan dalah pernyataan yang benar.

r = sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang digunakan dalam system digital adalah pernyataan yang salah.

s = aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan salah.

maka :

pvq adalah exor yang salah karena p benar, q benar.

pvr adalah exor yang benar kerena p benar, s salah

svq adalah exor yang benar kerena q benar, s salah

rvs adalah exor yang salah kerena r salah, s salah

dengan demikian dapat diambil kesimpulan dan dimasukan kedala tabel kebenaran exor dapat ditulis sebagai berikut :

atau

Exlusive Nor (ExNOR)

EXNOR adalah sebuah pernyataan gabungan ingkaran dari EXOR dimana nilai kebenarannya benar bila kedua pernyataan benar atau salah. maka dapat diambil kesimpulan Notasi EXNOR sebagai berikut :

Contoh :

p = sistem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, dapat berbeda secara terus menerus melebih jarak terentu adalah pernyataan benar.

q= sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlianan dalah pernyataan yang benar.

r = sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang digunakan dalam system digital adalah pernyataan yang salah.

s = aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan salah.

maka :

p EXNOR q, adalah pernyataan yang benar

p EXNOR r, adalah pernyataan yang salah

s EXNOR q, adalah pernyataan yang salah

r EXNOR s, adalah pernyataan yang benar

dengan demikian tabel kebenaran EXNOR adalah sebagai berikut :

Untuk materi selanjutnya kita akan membahas tentang Tautologi & Kontradiksi, Kesetaraan logis. untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan kta penghubung atau.

Notasi – notasi disjungsi :

p ∨ q, p + q

Bagaimana menentukan benar atau salah sebuah disjungsi ? Disjungsi dapat dianalogikan dengan sebuah rangkaian listrik yang paralel :

Bila lampu A dan lampu B hidup maka arus listrik i dapat bergerak/mengalir dari kutup positip ke kutup negatip sebuah baterai, akibatnya lampu A dan B menyala. Bila lampu A hidup danlampu B mati ( atau sebaliknya ), maka arus listrik i masih dapat mengalir dari kutup positip ke kutup negatip sebuah baterai. Akibatnya lampu yang hidup akan menyala dan yang mati tidak menyala.

Bila lampu A dan B mati, maka arus listrik i tidak dapat mengalir ke kutup negatip. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa disjungsi salah bila kedua lampu mati, selain itu benar.

Tabel kebenaran Disjungsi

atau

Catatan :

Simbol tabel kebenaran yang biasa digunakan :

Benar = T, B, + , 1

Salah = F, S, – , 0

Contoh :

p = Keyboard adalah alat yang dapat digunakan untuk input data kedalam komputer adalah pernyataan benar.

q = Hardisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan salah.

r = Procesor alat yang berfungsi sebagai otak dari sebuah komputer adalah pernyataan yang benar.

s = Windows 10 adalah sistematika menulis buku adalah pernyataa salah.

maka :

p v q  = disjungsi yang benar kerena p benar, q salah

p v r = disjungsi yang benar kerna p benar, r benar

q v s = disjungsi yang salah karena q salah, salah

Negasi

adalah sebuah pernyataan yang meniadakan pernyataan yang ada, dapat dibentuk dengan menulis adalah salah bahwa atau dengan menyisipkan kata ” tidak” dalam sebuah pernyataan.

Notasi – notasi negesi :

\(\)$$\sim p,p:\overline{p}$$

Contoh :

p = Harddisk adalah salat yang menetukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan salah

maka :

∼p  = adalah salah bahwa hardisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan benar.

jadi kebenearan sebuah negasi adalah lawan dari kebenaran pernyataan.

Tabel kebenaran negasi :

Joindenial ( Not OR/NOR )

Jointdenial adalah pernyataan gabungan yang dihasilakan dari menegasikan disjungsi.

Notasi NOR :

$$p^{\downarrow }q,pnorq,\sim \left( pvq\right) $$

Karena joindenial adalah negasi dari or, maka table kebenaran NOR adalah sebagai berikut :

atau

Bagi yang belum mengenal apa itu kongjungsi dapat membaca artikel tentang logika proposi, dan untuk memperdalam ilmu tentang matemika distrik dapat membeli di toko buku online ataupun offline karya Samuel Wibisono

Secara numerik :

Interpretasi geometri integral  f(x) pada selang [a, b] adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu-x, dan garis  x = a dan  x = b. Dengan cara membagi selang integrasi [a, b] menjadi n buah segmen, maka luas daerah integrasi [a, b]dapat dihampiri sebagai luas dari n buah segmen atau pias -> Metode Pias.

Bentuk tabel data diskrit adalah :

Lebar tiap segmen adalah :

xr -> Titik absis segmen dinyatakan sebagai :

fr -> nilai fungsi pada titik absis segmen adalah :

Kaidah Trapesium

Pandang sebuah pias/segmen berbentuk trapesium dari x = x0 sampai x = x1  , seperti pada gambar berikut :

Luas satu trapesium adalah :

Bila selang [a, b] dibagi atas n buah pias trapesium, kaidah itegrasi yang diperoleh adalah kaidah trapesium gabungan.

Galat Kaidah Trapesium

Galat total integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan kuadrat lebar pias (h). Semakin kecil ukuran h, semakin kecil juga galatnya, namun semakin banyak jumlah komputasinya

Rumus :

Contoh 1 :

Hitung integral

dengan kaidah trapesium. Bagi daerah integrasi menjadi 8 pias. Perkirakan juga batas-batas galatnya (Gunakan 5 angka bena)

Penyelesaian :

– Fungsi integralnya -> f(x) = ex        

-Lebar pias/segmen adalah :

– Tabel data diskritnya adalah :

Galat kaidah trapesium :

Nilai sejati I harus terletak diantara :

23.914 – 0.1598 = 23.834   dan   23.914 – 0.0323 = 23.962

Nilai integrasi sejati = 23.914 -> terletak diantara 23.834 dan 23.962

Galat hasil integrasi  =

23.914 – 23.944 = -0.080 -> terletak diantara -0.0323 dan -0.1598

Kaidah titik Tengah

Pandang sebuah pias/segmen berbentuk empat persegi panjang dari x = x0 sampai x = x1 dan titik tengah absis x = x0 + h/2.

Luas satu pias adalah :

Kaidah titik tengah gabungan  adalah :

Galat Kaidah Titik Tengah

Galat untuk satu buah segmen :

Contoh 2 :

Hitung  nilai integrasi fungsi f(x) = ex , dengan batas integrasi 1.8 sampai 3.2. Gunakan h = 0,2. Perkirakan batas-batas galatnya.

Jawab :

Untuk h = 0,2

x1/2 -> x0 + h/2 = 1.8 + (0.2/2) = 1.9

x3/2 -> x1 + h/2 =(x0  + h ) +( h/2) = 2 + 0.1 =2.1

Dan seterusnya

Kaidah  Simpson 1/3

Merupakan pengembangan dari kaidah trapesium, dengan daerah pembagi terdiri dari dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat dititik tengahnya (jumlah n harus genap)

Luas daerah yang dibatasi fungsi y = f(x) dan sumbu x dapat dihitung :

Galat untuk dua pasang n :

Galat gabungan  :

Latihan :

Tentukan nilai integrasi

dengan menggunakan :

a.Kaidah Trapesium

b.Kaidah Titik Tengah

c.Kaidah Simpson 1/3

Bandingkan ketiga jawaban yang mana yang lebih mendekati nilai integral sejatinya !

Pada artikel sebelumnya kita sudah membahas tentang Integrasi Numerik

Pendekatan numerik memiliki 3 hampiran diantaranya :

1. Hampiran Selisih Maju
2. Hampiran Selisih Mundur
3. Hampiran Selisih Pusat

Perhitungan turunan numerik dapat dilakukan dengan  menggunakan nilai-nilai diskrit yang ditampilkan dalam bentuk tabel. 3 pendekatan numerik yang digunakan untuk menghitung turunan pertama yaitu :

Contoh :

Definisikan fungsi f(x) = ex – 5x2 dalam interval a = 1.3 dan b = 2.5  dengan h = 0.2.

Kemudian hitunglah :

a.f’(1.3)

b.f’(2,5)

c.f’(1.7)

Jawab :

1. Untuk menghitung f’(1.3) gunakan rumus hampiran selisih maju, sebab x = 1.3 hanya mempunyai titik-titik sesudahnya, tetapi tidak memiliki titik-titik sebelumnya, sehingga :

Galat : |9.33070| – |9.93805|=-0.60735

terletak diantara -0.63307 dan -0.55183

2. Untuk menghitung nilai f’(2.5) digunakan rumus hampiran selisih mundur, sebab x = 2.5, hanya mempunyai titik-titik sebelumnya (mundur), sehingga :

3. Untuk menghitung nilai f’(1.7) dapat mengunakan semua rumus hampiran

Galat terletak diantara :

– Dengan hampiran selisih mundur

Galat terletak diantara :

– Dengan hampiran selisih pusat

Galat terletak diantara :

Pendekatan untuk turunan ke-2 fungsi

-> menggunakan 3 titik data yaitu :

Latihan

Definisikan fungsi

dalam selang [1.5 , 2.5] dengan h = 0.2 kemudian tentukan nilai turunan fungsi hampiran dan bandingkan dengan nilai turunan fungsi sejatinya pada setiap nilai x !

Teman – teman juga bisa belajar pada video tutorial di ini

Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang Metode Numerik Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena :

1. Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah  besar.
2. Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange.

Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai untuk membuat polinom derajat yang makin tinggi.

Jurnal yang berkaitan dengan interpolasi newton disini

Tinjau polinom lanjar :

Polinom Newton berderajat 2

Polinom Newton berderajat n

Nilai konstanta  a0 , a1 , a2 , …, an merupakan nilai selisih-terbagi, yaitu :

Nilai selisih terbagi ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel yang disebut tabel selisih -terbagi, misalnya tabel selisih-terbagi untuk empat buah titik  (n  = 3) berikut:

contoh :

Hitunglah ln9.2 dari nilai-nilai (x, y) yang diberikan pada tabel berikut dengan polinom Newton derajat 3, bandingkan dengan nilai sejatinya yaitu ln(9.2) = 2.219203 (gunakan 7 angka bena),

Sehingga polinom newton (dengan x0 = 8.0 -> titik data pertama) adalah :

Nilai sejati ln(9.2) = 2.219203, sehingga galat yang dihasilkan pada polinom Newton derajat 3 adalah  :

|2.219203 – 2.219208| = 0.000005 -> tingkat ketelitian sampai dengan 6 angka bena.Sehingga semakin tinggi derajat / orde polinom maka tingkat ketelitian juga semakin tinggi

Sebelumnya kita sudah membahas tentang Metode Numerik Interpolasi Newton, bagi teman – teman yang belum apa itu Metode Numerik Interpolasi Newton dapat membaca artikel sebelumnya.

Menggunakan fungsi pendekatan kuadrat -> kurva berbentuk parabola. Merupakan interpolasi linier menggunakan tiga titik (x0,y0) (x1,y1) dan (x2,y2) yang berada paling dekat dengan nilai x Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk :

 Polinom kuadrat / Polinom derajat 2

Dengan mensubsitusikan nilai (x0, y0) (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan, maka akan diperoleh tiga buah persamaan sebagai berikut :

Nilai a0 , a1 dan a2 dapat dicari dengan metode eliminasi Gauss

Contoh :

Dari data

Tentukan ln(9,2) dengan interpolasi kuadratik (gunakan 5 angka bena)

Penyelesaian sistem persamaan  dengan metode eliminasi Gauss menghasilkan a0 = 0.6762, a1 = 0.2266 dan a3 = -0.0064, sehingga polinom kuadratnya adalah :

Tingkat ketelitian 5 angka bena

Interpolasi Lagrange

Persamaan polinom lanjar

Dapat diatur kembali menjadi :

jika :

Maka :

Bagi teman – teman yang ingin mencari jurnal tentang penerapan Interpolasi Lagrange, dapat membaca jurnal tentang Aplikasi Interpolasi Lagrange dan Ekstrapolasi dalam Peramalan Jumlah Penduduk

Polinom Lagrange derajat 1

Sehingga bentuk umum polinom Lagrange derajat £ n untuk (n+1) titik berbeda adalah :

Contoh :

Dari data

Tentukan nilai y pada x = 5, dengan polinom lagrange derajat 2

Jawab :

Polinom lagrange derajat 2 -> tiga titik data yaitu : (1, 3) (4, 5) dan (7, 6) Bentuk polinom lagrange derajat 2 adalah :

Hasil penelitian/percobaan biasanya berupa data diskrit yang disajikan dalam bentuk tabel.

Contohnya :

Tabel diatas merupakan data hasil pengukuran fisika yang telah dilakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan-karat (x) dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah (y)

Persoalan -> Bagaimana cara menentukan nilai y diantara nilai-nilai x tersebut  (misalnya x = 7) tanpa harus melakukan pengukuran lagi, dan fungsi yang menghubungkan variabel y dengan variabel x tidak diketahui?

Solusinya -> mencari fungsi yang mencocokan (fit) titik-titik data didalam tabel à Pencocokan Kurva (curve fitting)

Pencocokan Kurva  sebuah metode yang mencocokan titik data dengan sebuah kurva

Digunakan untuk menghitung nilai fungsi, menghitung nilai turunan dan menghitung nilai integral.

Salah satu metode pencocokan kurva -> Interpolasi. Interpolasi mencari nilai-nilai antara yang tidak ada pada data. Biasanya digunakan pada data yang mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, sehingga kurva  cocokannya dibuat melalui setiap titik.

teman – teman dapat juga mendownload artikel tentang interpolasi numerik pada link berikut ini

Interpolasi Lanjar

Interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Menggunakan dua titik (x0 , y0) dan (x1 , y1) yang berada paling dekat dengan nilai x. Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:

Dengan mensubsitusikan (x0 ,  y0) dan (x1,  y1) ke dalam persamaan diatas, maka diperoleh dua buah persamaan lanjar yaitu :

Dengan mengeliminasi nilai a0 , dapat ditentukan nilai a1 , yaituSubsitusikan nilai a1 kedalam persamaan untuk menentukan nilai a0 , yaitu :

Subsitusikan nilai a0 dan a1  kedalam persamaan garis, sehingga :

Dengan melakukan manipulasi aljabar, persamaan diatas dapat disusun menjadi :

Polinom lanjar / Polinom derajat 1

Contoh :

1.Diketahui data sbb : Tentukan nilai y, untuk x = 5 dan x = 9

Jawab :

Untuk x = 5, maka (x0 , y0) -> (4,00 ; 5,00)

(x1 , y1) -> (7,00 ; 6,00)

Untuk x = 9, maka (x0 , y0) ->

(x1 , y1) ->

2. Dari data ln(9.0) = 2.1972 ln(9.5) = 2.2513. Tentukan ln(9,2) dengan interpolasi lanjar (gunakan 5 angka bena)

Jawab :

Untuk ln(9,2) ->   (x0 , y0) -> (9.0 ; 2.1972)

(x1 , y1) ->(9.5 ; 2.2513)

Jika dibandingkan dengan nilai sejatinya ln(9,2) = 2.2192, maka galat yang dihasilkan dari interpolasi lanjar adalah :

e = 2.2192 -2.2188 = 0.0004 -> ketelitiannya hanya sampai 3 angka bena.

Silahkan juga di baca tentang Metode Numerik : Interpolasi Kuadratik

Sebelumnya kita sudah belajar tentang materi Interpolasi Numerik, bagi teman – teman yang belum mengetahui apa itu interpolasi numerik silahkan di baca pada artikel sebelumnya.

Rumus Umum

Rumus umum yang dipakai pada metode leleran gauss seidel pada metode numerik adalah sebagai berikut

Misalkan diketahui SPL

Maka prosedur lelarannya :

Lelaran ke 1 :

Lelaran ke 2 :

Contoh :

Tentukan solusi SPL berikut ini, dengan nilai awal P0 = ( x0 , y0 ,z0 ) = (1, 2, 2)

Jawab :                         Persamaan lelarannya :                      Lelaran 1 :

Lelaran 2 :

Contoh Kasus :

Seorang seniman akan membuat 2 macam boneka X dan Y. Boneka X memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka Y memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2?

Penyelesaian :

Membuat model SPL untuk soal diatas :

– Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, misalkan

x = jumlah boneka X

y = jumlah boneka Y

-Pemakaian bahan :

B1 à 10 blok untuk boneka X + 5 blok untuk boneka Y = 80 (total B1)

B2 à 2 blok untuk boneka X + 6 blok untuk boneka Y = 36 (total B2)

Sehingga diperoleh bentuk SPL

10x + 5y = 80

2x + 6y = 36

–  Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, diperoleh :

–  Dengan metode lelaran Gauss Seidel dengan x0 = 5 dan y0 = 3 dan ε =10-4

Sebuah industri perabot akan membuat tiga macam produk yaitu kursi, meja dan lemari. Produk tersebut membutuhkan 3 jenis bahan yaitu kayu papan, kayu ring dan paku dengan jumlah kebutuhan bahan untuk masing-masing produk sbb :

– 1 kursi membutuhkan 2 bh kayu papan, 6 bh kayu ring dan 10 bh paku

– 1 meja membutuhkan 2 bh kayu papan, 6 bh kayu ring, 12 bh paku

– 1 lemari membutuhkan 10 bh kayu papan, 10 bh kayu ring, 20 bh paku

Berapakah jumlah kursi, meja dan lemari yang dapat dibuat bila tersedia 108 bh kayu papan, 204 bh kayu ring, dan 376 bh paku !

Hitunglah dengan menggunakan metode eliminasi Gauss dan metode lelaran Gauss Seidel dengan x0 = 15, y0 = 7 dan z0 = 5 !

Bagi teman – teman yang ingin mencari jurnal tentang gaus seidel dapat membaca pada jurnal berikut ini

Dalam bentuk matriks, SPL dapat ditulis sebagai persamaan matriks :

Ax = b

Dimana :

A = [aij ] -> matriks berukuran m x n

x  = [xj ] -> matrik berukurnan m  x 1

b  = [bj ] -> matriks berukuran m x 1

(vektor kolom)

Sebelum masuk ke pembahasan metode eliminasi gauss, silahkan di baca pembahasan tentang Interpolasi Numerik

Metode Eliminasi Gauss

bagi teman – teman yang belum tahu siapa itu gauss, dapat membaca artikel berikut ini

Mengubah matriks Ax = b menjadi matriks Ux = y, dengan U = matriks segitiga atas, kemudian menggunakan  teknik penyulihan mundur (backward subsitution) untuk menghitung solusinya

Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh hasil :

Proses eliminasi terdiri dari tiga operasi baris elementer :

1.Pertukaran -> urutan dua persamaan dapat ditukar

2.Penskalaan -> persamaan dapat dikali dengan konstanta bukan 0

3.Penggantian -> Persamaan dapat diganti misalnya dengan penjumlahan / selisih persamaan itu dengan dua kali persamaan lain.

Contoh 1:

Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi Gauss :

Penyelesaian :

Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh solusi dari SPL tsb, yaitu :

Elemen Pivot

Nilai  ap, p pada posisi (p , p) yang digunakan untuk mengeliminasi  xp  pada baris  p + 1, p +2, …, n dinamakan elemen  pivot dan persamaan pada baris tersebut disebut  persamaan pivot

Apabila elemen pivot ini bernilai 0, maka baris ke-k tidak dapat digunakan untuk mengeliminasi elemen pada kolom p karena terjadi pembagian dengan bilangan 0

Strategi Pivoting

Strategi pivoting pada metode numerik, Jika elemen pivot (ap,p ) = 0, cari baris k dengan ak,p  ¹ 0 dengan k > p, lalu pertukarkan baris p dan baris k

Contoh 2 :

Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi gauss yang menerapkan strategi pivoting

Penyelesaian :

Untuk menghindari pembagian dengan angka 0, elemen baris ke-2 ditukar dengan elemen baris ke-3

Karena sudah terbentuk matriks segitiga atas, maka dengan teknik penyulihan mundur, didapatkan hasil :

Pivoting Sebagian (Partial Pivoting)

Strategi pivoting sebagian -> pivot dipilih dari semua elemen kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar, kemudian pertukarkan baris ke-k dengan baris ke-p

Pivoting Lengkap (Complete Pivoting)

Strategi -> Kolom juga diikutkan dalam pencarian elemen terbesar kemudian dipertukarkan

Pertukaran kolom mengakibatkan perubahan urutan suku x sehingga jarang digunakan dalam program sederhana.

Contoh 3 :

Dengan menggunakan 4 angka bena, selesaikan sistem persamaan berikut :

0.0003x1 + 1.566x2 = 1.569

0.3454x1 – 2.436x2 = 1.018

a.Tanpa strategi pivoting (eliminasi Gauss naif)

b.Dengan strategi pivoting sebagian (eliminasi yang dimodifikasi)

Catt : dengan 4 angka bena, solusi sejatinya adalah x1 =10.00 dan x2 = 1.00

Penyelesaian :

Penskalaan

Strategi -> membagi tiap baris persamaan dengan nilai mutlak koefisien terbesar diruas kirinya, dinamakan juga dengan menormalkan SPL

Contoh 4 :

Selesaikan SPL berikut sampai dengan 3 angka bena menggunakan metode eliminasi Gauss tanpa penskalaan dan dengan penskalaan

Penyelesaian :

Latihan

Selesaikan SPL berikut ini dengan metode :

a.Eliminasi Gauss tanpa pivoting

b.Eliminasi Gauss dengan pivoting

Subsitusikan nilai x1 , x2 dan x3 yang anda peroleh ke dalam SPL lalu bandingkan hasilnya dengan ruas kanan (vektor b)

Untuk

penulis ( Rini Budiarni, M.T )