Distribusi Binomial pada Teori peluang

• Distribusi ini hanya mengenal dua keadaan, yaitu berhasil atau gagal.
• Distribusi ini sering disebut juga sebagai proses Bernoulli (Bernoulli trials).

Ciri-ciri proses Bernoulli:

1. Ada dua kejadian yang bisa terjadi dan saling asing  pada setiap percobaan, yaitu: sukses dan gagal.
2. Urutan dari percobaan tersebut merupakan kejadian  independen
3. Probabilitas sukses dinyatakan sebagai p, dimana nilai  p ini tetap dari satu percobaan ke percobaan  berikutnya atau dari satu kejadian ke kejadian lainnya.

Ada tiga nilai yang diperlukan dalam proses Bernoulli:

• jumlah percobaan → n dimana setiap hasil keluaran saling independen,
• jumlah keberhasilan → X
• probabilitas keberhasilan dari X → p

Contoh :

Sebuah proses Bernoulli untuk QC dilakukan dengan memilih 3  komponen secara simultan dari sebuah proses produksi. Setiap  komponen yg diambil dinyatakan “sukses” jika berkondisi baik, dan  “gagal” jika ternyata komponen tersebut . Variabel random X didefinisikan sebagai  banyaknya “sukses” dalam pengambilan 3 komponen tsb, maka :

Ruang sampel bagi X adalah (S: sukses, G: gagal) :

Misalkan diketahui dari proses QC tahun lalu, sebanyak 75% produksi komponen  tersebut berkondisi baik (“S”). Jadi probabilitas 1 kali pengambilan menghasilkan kondisi baik = probabilitas “sukses”

→ p = 3/4, berarti  probabilitas “gagal” q = 1 – 3/4 =1/4

Untuk  X = 1, ada 3 keluaran hasil yaitu : SGG, GSG, GGS

p(SGG) = (¾) . (¼) . (¼) = 3/64

jika f( X = 1 ) menyatakan probabilitas X = 1, maka probabilitasnya :

Baca juga artikel tentang Hukum Peluang Total Pada Teori Peluang

Fungsi Distribusi Binomial

Proses Bernoulli dimana pada tiap percobaan memiliki probabilitas sukses p (atau probabilitas gagal q = 1 – p ), maka fungsi distribusi probabilitas  f(x) dapat dinyatakan dengan persamaan kombinasi, yaitu :

Yang berarti bahwa dari n kali percobaan yang independen mengandung x buah hasil keluaran “sukses”

Sifat dari f(x : n , p) sebagai fungsi probabilitas :

• Nilai mean dan varians dari distribusi Binomial ditentukan oleh berbagai peristiwa yang dihasilkan dari percobaan Binomial.
• Jika sebuah variabel X terdiri dari n percobaan, dimana tiap kali hasil percobaannya disebut Lk yg bisa bernilai “sukses” atau “gagal” dengan probabilitas “sukses” = p.
• Maka mean dari populasi distribusi Binomial dinyatakan

Varians dari total populasi distribusi binomial

Contoh :

Dari hasil penelitian didapatkan bahwa probabilitas  seseorang untuk sembuh dari sakit kanker dengan  pemberian obat tertentu adalah 60%. Jika diambil 10  orang yang terjangkit penyakit secara acak, hitung:

1. Probabilitas tidak lebih dari 3 orang untuk sembuh
2. Probabilitas sedikitnya 5 orang untuk sembuh
3. Hitung rata-rata dan simpangan baku pasien sembuh

Jawab :  1.

Jawaban soal no. 2

Jawaban soal no. 3

Distribusi Multinomial

Percobaan BINOMIAL akan menjadi percobaan MULTINOMIAL apabila tiap percobaan dapat memberikan lebih dari DUA hasil yang mungkin.

Ciri-ciri :

1. Terdiri dari n kali percobaan yan identik
2. Terdapat k jenis keluaran untuk tiap percobaan
3. Peluang dari masing-masing keluaran adalah p1 , p2 , … , pk bernilai tetap dari satu percobaan ke percobaan yang lain dan p1 + p2 + … + pk  = 1
4. Semua percobaan bersifat independen (bebas)
5. Variabel acak multinomial adalah Y1 , Y2 , … Yk untuk setiap k jenis keluaran

Probabilitas distribusi multinomial dinyatakan dengan :

dimana :

pi = peluang keluaran ke-i dalam percobaan tunggal

n = y1 + y2 + … + yk = jumlah percobaan

yi = jumlah kemunculan keluaran ke-i dalam n percobaan

Contoh :

Sebuah penelitian menunjukkan bahwa 10% monitor komputer memberikan radiasi tinggi, 30% sedang, dan 60% rendah. Bila diambil sampel acak 40 monitor dari sebuah populasi, hitunglah :

1. Peluang bahwa 10 monitor memiliki radiasi tinggi, 10 sedang dan 20 rendah
2. Rata-rata dan varians monitor dengan radiasi tinggi dari 40 monitor yang terpilih sebagai sampel

Jawab :

a.Ditentukan :

y1 = jumlah monitor dengan radiasi tinggi =

y2 = jumlah monitor dengan radiasi sedang =

y3 = jumlah monitor dengan radiasi rendah =

p1 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi tinggi =

p2 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi sedang =

p3 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi rendah  =

Rata-rata dan varians terpilihnya monitor dengan radiasi tinggi :

 

Distribusi Binomial Negatif

Percobaan BINOMIAL NEGATIF ingin mengetahui peluang bahwa sukses  ke – r terjadi pada percobaan ke – x. Sehingga distribusi BINOMIAL NEGATIF merupakan banyaknya percobaan yang berakhir tepat pada sukses ke – r.

Ciri – ciri

1.Kondisi umum IDENTIK dengan distribusi peluang binomial

2.Pengecualian pada perubahan definisi variabel random Y.

y = jumlah trial yang diperlukan untuk memperoleh keluaran S (SUKSES) ke – i.

Contoh :

Untuk memasang baut, digunakan sebuah peralatan elektrik dengan tingkat keberhasilan 0,8 dalam selang waktu 1 detik. Jika operator gagal memasang baut dalam selang waktu 1 detik pertama, tingkat keberhasilan pemasangan pada selang waktu 1 detik kedua dianggap tetap 0,8.dalam 1 rangkaian assembly, terdapat 4 baut yang harus dipasang. Tentukan :

1. Distribusi probabilitas y, yaitu waktu (detik) yang diperlukan untuk memasang ke-4 baut dalam 1 assembly.
2. Peluang bahwa waktu yang diperlukan untuk memasang ke-4 baut tersebut adalah 6 detik

teman – teman bisa juga melihat video tutorial tentan Distribusi Binomial (Contoh Soal)