Secara numerik :

Interpretasi geometri integral  f(x) pada selang [a, b] adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu-x, dan garis  x = a dan  x = b. Dengan cara membagi selang integrasi [a, b] menjadi n buah segmen, maka luas daerah integrasi [a, b]dapat dihampiri sebagai luas dari n buah segmen atau pias -> Metode Pias.

Bentuk tabel data diskrit adalah :

Lebar tiap segmen adalah :

xr -> Titik absis segmen dinyatakan sebagai :

fr -> nilai fungsi pada titik absis segmen adalah :

Kaidah Trapesium

Pandang sebuah pias/segmen berbentuk trapesium dari x = x0 sampai x = x1  , seperti pada gambar berikut :

Luas satu trapesium adalah :

Bila selang [a, b] dibagi atas n buah pias trapesium, kaidah itegrasi yang diperoleh adalah kaidah trapesium gabungan.

Galat Kaidah Trapesium

Galat total integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan kuadrat lebar pias (h). Semakin kecil ukuran h, semakin kecil juga galatnya, namun semakin banyak jumlah komputasinya

Rumus :

Contoh 1 :

Hitung integral

dengan kaidah trapesium. Bagi daerah integrasi menjadi 8 pias. Perkirakan juga batas-batas galatnya (Gunakan 5 angka bena)

Penyelesaian :

– Fungsi integralnya -> f(x) = ex        

-Lebar pias/segmen adalah :

– Tabel data diskritnya adalah :

Galat kaidah trapesium :

Nilai sejati I harus terletak diantara :

23.914 – 0.1598 = 23.834   dan   23.914 – 0.0323 = 23.962

Nilai integrasi sejati = 23.914 -> terletak diantara 23.834 dan 23.962

Galat hasil integrasi  =

23.914 – 23.944 = -0.080 -> terletak diantara -0.0323 dan -0.1598

Kaidah titik Tengah

Pandang sebuah pias/segmen berbentuk empat persegi panjang dari x = x0 sampai x = x1 dan titik tengah absis x = x0 + h/2.

Luas satu pias adalah :

Kaidah titik tengah gabungan  adalah :

Galat Kaidah Titik Tengah

Galat untuk satu buah segmen :

Contoh 2 :

Hitung  nilai integrasi fungsi f(x) = ex , dengan batas integrasi 1.8 sampai 3.2. Gunakan h = 0,2. Perkirakan batas-batas galatnya.

Jawab :

Untuk h = 0,2

x1/2 -> x0 + h/2 = 1.8 + (0.2/2) = 1.9

x3/2 -> x1 + h/2 =(x0  + h ) +( h/2) = 2 + 0.1 =2.1

Dan seterusnya

Kaidah  Simpson 1/3

Merupakan pengembangan dari kaidah trapesium, dengan daerah pembagi terdiri dari dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat dititik tengahnya (jumlah n harus genap)

Luas daerah yang dibatasi fungsi y = f(x) dan sumbu x dapat dihitung :

Galat untuk dua pasang n :

Galat gabungan  :

Latihan :

Tentukan nilai integrasi

dengan menggunakan :

a.Kaidah Trapesium

b.Kaidah Titik Tengah

c.Kaidah Simpson 1/3

Bandingkan ketiga jawaban yang mana yang lebih mendekati nilai integral sejatinya !

Menurut sumber e-learning.upr.ac.id Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan (arithmetik).

Tujuan Metode Numerik

Untuk memahami konsep dasar metode numerik, kelebihan dan kekurangan setiap metode, serta ketetapan hasil dan penerapannya.

Capaian Metode Numerik

Setelah mengikuti MK ini mahasiswa diharapkan dapat :

• Memahami pengertian dan konsep dasar metode numerik
• Memahami kelebihan dan kekurangan masing-masing      metode numerik
• Dapat menggunakan metode numerik untuk menyelesaikan persoalan matematika yang menyangkut SPL, Turunan dan Integrasi

PENDAHULUAN

Di berbagai disiplin ilmu pengetahuan (bidang fisika, kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dsb) banyak muncul persoalan yang melibatkan model matematika yang sulit     untuk diselesaikan dengan metode analitik

Bagaimana cara menyelesaikan persoalan matematika

berikut ini ?

1. Tentukan akar-akar persamaan polinom :

23.4×7 – 1.25×6+ 120×4 + 15×3 – 120×2 – x + 100 = 0

2. Selesaikan sistem persamaan linier berikut :

•   1.2a – 3b – 12c + 12d + 4.8e – 5.5f = 18
•   0.9a +3b – c+16d + 8e – 5f = 17
•  4.6a +3b –  6c – 2d+ 4e + 6.5f = 19
•  3.7a – 3b + 8c  – 7d + 14e + 8.4f = 6
•  2.2a + 3b  + 17c +  6d  + 12e – 7.5f = 9
•  5.9a + 3b  + 11c +  9d  – 5e – 25f = 0

• Soal 1, biasanya untuk polinom derajat 2 masih dapat dicari akar2 polinom dengan rumus abc
• Sedangkan untuk polinom dg derajat > 2 tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom.
• Dengan cara pemfaktoran, semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar pemfaktorkannya.
• Soal 2, juga tidak ada rumus yang baku untuk menemukan solusi SPL. Apabila SPL hanya mempunyai 2 atau 3 peubah, kita dapat menemukan solusinya dengan grafik, aturan Cramer
• Kebanyakan persoalan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.
• Metode analitik disebut juga metode exact yang menghasilkan solusi exact (solusi sejati).
• Metode analitik ini unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas

Metode Numerik

Untuk referensi lain tentang metode numerik teman – teman dapat membaca disini

Teknik yang digunakan untuk memformulasikan   persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, – , / , *)

Metode Analitik :

• Biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi       matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut  dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka
• Solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol

Metode Numerik :

• Dengan adanya Solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka.
• Solusi hampiran (approxomation) atau  solusi pendekatan,   solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan.
• Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi      sejati, sehingga ada selisih antara keduanya yang disebut dengan galat  (error).

Contoh :

Secara numerik :

Interpretasi geometri integral  f(x) dari  x = a sampai x = b  adalah

luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu-x,  dan garis  x = a dan  x = b.

Sehingga integral dari 4 – x2 dapat digambarkan dalam grafik :

Luas daerah tersebut dapat dihampiri dengan cara sebagai   berikut :

Bagilah daerah integrasi  [-1, 1]  atas sejumlah trapesium dengan  lebar 0.5

Maka, luas daerah integrasi dihampiri dengan luas kempat buah

trapesium, menjadi :

Peranan Komputer dalam Metode Numerik

• Perhitungan dalam metode numerik berupa operasi aritmatika dan dilakukan berulang kali, sehingga penggunaan komputer dapat mempercepat proses        perhitungan tanpa membuat kesalahan
• Dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga dapat      ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah nilai          parameter.
• Beberapa contoh aplikasi yang ada saat ini adalah MathLab,  MathCad,  Maple, Mathematica,  Eureka, dan sebagainya.

Peran Metode Numerik

• Metode Numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan linier yang besar dan persamaan-persamaan yang rumit.
• Merupakan penyederhanaan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.

Persoalan yang diselesaikan dengan Metode Numerik

• Menyelesaikan persamaan non-linier

–Metode Tertutup : Tabel, Biseksi, Regula Falsi,

–Metode Terbuka : Secant, Newton Raphson, Iterasi Sederhana

• Menyelesaikan persamaan linier

–Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan, Gauss Seidel

• Differensiasi Numerik

–Selisih Maju, Selisih Tengahan, Selisih Mundur

• Integrasi Numerik

–Integral Reimann, Integrasi Trapezoida, Simpson, Gauss

• Interpolasi

–Interpolasi Linier, Quadrat, Kubik, Polinom Lagrange, Polinom      Newton

• Regresi

–Regresi Linier dan Non Linier

• Penyelesaian Persamaan Differensial

–Euler, Taylor

Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik

Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan

dunia nyata dengan metode numerik, yaitu

1. Pemodelan

Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke

dalam persamaan matematika

2. Penyederhanaan model

Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja

terlalu  kompleks, misalnya mempunyai banyak peubah (variable)   atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya.

3. Formulasi numerik

Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain:

1. menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya).

Pemilihan metode didasari pada pertimbangan:

– apakah metode tersebut teliti?

– apakah dalam metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat?

– apakah dalam metode ini tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil?

2. menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

4. Pemrograman

Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.

5. Operasional

Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba     sebelum data yang sesungguhnya.

6. Evaluasi

Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis   hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang   lebih baik.

Selanjutnya kita akan belajar metode numerik tentang analisa galat