Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang Metode Numerik Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena :

1. Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah  besar.
2. Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange.

Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai untuk membuat polinom derajat yang makin tinggi.

Jurnal yang berkaitan dengan interpolasi newton disini

Tinjau polinom lanjar :

Polinom Newton berderajat 2

Polinom Newton berderajat n

Nilai konstanta  a0 , a1 , a2 , …, an merupakan nilai selisih-terbagi, yaitu :

Nilai selisih terbagi ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel yang disebut tabel selisih -terbagi, misalnya tabel selisih-terbagi untuk empat buah titik  (n  = 3) berikut:

contoh :

Hitunglah ln9.2 dari nilai-nilai (x, y) yang diberikan pada tabel berikut dengan polinom Newton derajat 3, bandingkan dengan nilai sejatinya yaitu ln(9.2) = 2.219203 (gunakan 7 angka bena),

Sehingga polinom newton (dengan x0 = 8.0 -> titik data pertama) adalah :

Nilai sejati ln(9.2) = 2.219203, sehingga galat yang dihasilkan pada polinom Newton derajat 3 adalah  :

|2.219203 – 2.219208| = 0.000005 -> tingkat ketelitian sampai dengan 6 angka bena.Sehingga semakin tinggi derajat / orde polinom maka tingkat ketelitian juga semakin tinggi

Sebelumnya kita sudah membahas tentang Metode Numerik Interpolasi Newton, bagi teman – teman yang belum apa itu Metode Numerik Interpolasi Newton dapat membaca artikel sebelumnya.

Menggunakan fungsi pendekatan kuadrat -> kurva berbentuk parabola. Merupakan interpolasi linier menggunakan tiga titik (x0,y0) (x1,y1) dan (x2,y2) yang berada paling dekat dengan nilai x Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk :

 Polinom kuadrat / Polinom derajat 2

Dengan mensubsitusikan nilai (x0, y0) (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan, maka akan diperoleh tiga buah persamaan sebagai berikut :

Nilai a0 , a1 dan a2 dapat dicari dengan metode eliminasi Gauss

Contoh :

Dari data

Tentukan ln(9,2) dengan interpolasi kuadratik (gunakan 5 angka bena)

Penyelesaian sistem persamaan  dengan metode eliminasi Gauss menghasilkan a0 = 0.6762, a1 = 0.2266 dan a3 = -0.0064, sehingga polinom kuadratnya adalah :

Tingkat ketelitian 5 angka bena

Interpolasi Lagrange

Persamaan polinom lanjar

Dapat diatur kembali menjadi :

jika :

Maka :

Bagi teman – teman yang ingin mencari jurnal tentang penerapan Interpolasi Lagrange, dapat membaca jurnal tentang Aplikasi Interpolasi Lagrange dan Ekstrapolasi dalam Peramalan Jumlah Penduduk

Polinom Lagrange derajat 1

Sehingga bentuk umum polinom Lagrange derajat £ n untuk (n+1) titik berbeda adalah :

Contoh :

Dari data

Tentukan nilai y pada x = 5, dengan polinom lagrange derajat 2

Jawab :

Polinom lagrange derajat 2 -> tiga titik data yaitu : (1, 3) (4, 5) dan (7, 6) Bentuk polinom lagrange derajat 2 adalah :

Hasil penelitian/percobaan biasanya berupa data diskrit yang disajikan dalam bentuk tabel.

Contohnya :

Tabel diatas merupakan data hasil pengukuran fisika yang telah dilakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan-karat (x) dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah (y)

Persoalan -> Bagaimana cara menentukan nilai y diantara nilai-nilai x tersebut  (misalnya x = 7) tanpa harus melakukan pengukuran lagi, dan fungsi yang menghubungkan variabel y dengan variabel x tidak diketahui?

Solusinya -> mencari fungsi yang mencocokan (fit) titik-titik data didalam tabel à Pencocokan Kurva (curve fitting)

Pencocokan Kurva  sebuah metode yang mencocokan titik data dengan sebuah kurva

Digunakan untuk menghitung nilai fungsi, menghitung nilai turunan dan menghitung nilai integral.

Salah satu metode pencocokan kurva -> Interpolasi. Interpolasi mencari nilai-nilai antara yang tidak ada pada data. Biasanya digunakan pada data yang mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, sehingga kurva  cocokannya dibuat melalui setiap titik.

teman – teman dapat juga mendownload artikel tentang interpolasi numerik pada link berikut ini

Interpolasi Lanjar

Interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Menggunakan dua titik (x0 , y0) dan (x1 , y1) yang berada paling dekat dengan nilai x. Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:

Dengan mensubsitusikan (x0 ,  y0) dan (x1,  y1) ke dalam persamaan diatas, maka diperoleh dua buah persamaan lanjar yaitu :

Dengan mengeliminasi nilai a0 , dapat ditentukan nilai a1 , yaituSubsitusikan nilai a1 kedalam persamaan untuk menentukan nilai a0 , yaitu :

Subsitusikan nilai a0 dan a1  kedalam persamaan garis, sehingga :

Dengan melakukan manipulasi aljabar, persamaan diatas dapat disusun menjadi :

Polinom lanjar / Polinom derajat 1

Contoh :

1.Diketahui data sbb : Tentukan nilai y, untuk x = 5 dan x = 9

Jawab :

Untuk x = 5, maka (x0 , y0) -> (4,00 ; 5,00)

(x1 , y1) -> (7,00 ; 6,00)

Untuk x = 9, maka (x0 , y0) ->

(x1 , y1) ->

2. Dari data ln(9.0) = 2.1972 ln(9.5) = 2.2513. Tentukan ln(9,2) dengan interpolasi lanjar (gunakan 5 angka bena)

Jawab :

Untuk ln(9,2) ->   (x0 , y0) -> (9.0 ; 2.1972)

(x1 , y1) ->(9.5 ; 2.2513)

Jika dibandingkan dengan nilai sejatinya ln(9,2) = 2.2192, maka galat yang dihasilkan dari interpolasi lanjar adalah :

e = 2.2192 -2.2188 = 0.0004 -> ketelitiannya hanya sampai 3 angka bena.

Silahkan juga di baca tentang Metode Numerik : Interpolasi Kuadratik

Menurut sumber e-learning.upr.ac.id Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan (arithmetik).

Tujuan Metode Numerik

Untuk memahami konsep dasar metode numerik, kelebihan dan kekurangan setiap metode, serta ketetapan hasil dan penerapannya.

Capaian Metode Numerik

Setelah mengikuti MK ini mahasiswa diharapkan dapat :

• Memahami pengertian dan konsep dasar metode numerik
• Memahami kelebihan dan kekurangan masing-masing      metode numerik
• Dapat menggunakan metode numerik untuk menyelesaikan persoalan matematika yang menyangkut SPL, Turunan dan Integrasi

PENDAHULUAN

Di berbagai disiplin ilmu pengetahuan (bidang fisika, kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dsb) banyak muncul persoalan yang melibatkan model matematika yang sulit     untuk diselesaikan dengan metode analitik

Bagaimana cara menyelesaikan persoalan matematika

berikut ini ?

1. Tentukan akar-akar persamaan polinom :

23.4×7 – 1.25×6+ 120×4 + 15×3 – 120×2 – x + 100 = 0

2. Selesaikan sistem persamaan linier berikut :

•   1.2a – 3b – 12c + 12d + 4.8e – 5.5f = 18
•   0.9a +3b – c+16d + 8e – 5f = 17
•  4.6a +3b –  6c – 2d+ 4e + 6.5f = 19
•  3.7a – 3b + 8c  – 7d + 14e + 8.4f = 6
•  2.2a + 3b  + 17c +  6d  + 12e – 7.5f = 9
•  5.9a + 3b  + 11c +  9d  – 5e – 25f = 0

• Soal 1, biasanya untuk polinom derajat 2 masih dapat dicari akar2 polinom dengan rumus abc
• Sedangkan untuk polinom dg derajat > 2 tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom.
• Dengan cara pemfaktoran, semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar pemfaktorkannya.
• Soal 2, juga tidak ada rumus yang baku untuk menemukan solusi SPL. Apabila SPL hanya mempunyai 2 atau 3 peubah, kita dapat menemukan solusinya dengan grafik, aturan Cramer
• Kebanyakan persoalan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.
• Metode analitik disebut juga metode exact yang menghasilkan solusi exact (solusi sejati).
• Metode analitik ini unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas

Metode Numerik

Untuk referensi lain tentang metode numerik teman – teman dapat membaca disini

Teknik yang digunakan untuk memformulasikan   persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, – , / , *)

Metode Analitik :

• Biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi       matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut  dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka
• Solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol

Metode Numerik :

• Dengan adanya Solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka.
• Solusi hampiran (approxomation) atau  solusi pendekatan,   solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan.
• Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi      sejati, sehingga ada selisih antara keduanya yang disebut dengan galat  (error).

Contoh :

Secara numerik :

Interpretasi geometri integral  f(x) dari  x = a sampai x = b  adalah

luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu-x,  dan garis  x = a dan  x = b.

Sehingga integral dari 4 – x2 dapat digambarkan dalam grafik :

Luas daerah tersebut dapat dihampiri dengan cara sebagai   berikut :

Bagilah daerah integrasi  [-1, 1]  atas sejumlah trapesium dengan  lebar 0.5

Maka, luas daerah integrasi dihampiri dengan luas kempat buah

trapesium, menjadi :

Peranan Komputer dalam Metode Numerik

• Perhitungan dalam metode numerik berupa operasi aritmatika dan dilakukan berulang kali, sehingga penggunaan komputer dapat mempercepat proses        perhitungan tanpa membuat kesalahan
• Dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga dapat      ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah nilai          parameter.
• Beberapa contoh aplikasi yang ada saat ini adalah MathLab,  MathCad,  Maple, Mathematica,  Eureka, dan sebagainya.

Peran Metode Numerik

• Metode Numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan linier yang besar dan persamaan-persamaan yang rumit.
• Merupakan penyederhanaan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.

Persoalan yang diselesaikan dengan Metode Numerik

• Menyelesaikan persamaan non-linier

–Metode Tertutup : Tabel, Biseksi, Regula Falsi,

–Metode Terbuka : Secant, Newton Raphson, Iterasi Sederhana

• Menyelesaikan persamaan linier

–Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan, Gauss Seidel

• Differensiasi Numerik

–Selisih Maju, Selisih Tengahan, Selisih Mundur

• Integrasi Numerik

–Integral Reimann, Integrasi Trapezoida, Simpson, Gauss

• Interpolasi

–Interpolasi Linier, Quadrat, Kubik, Polinom Lagrange, Polinom      Newton

• Regresi

–Regresi Linier dan Non Linier

• Penyelesaian Persamaan Differensial

–Euler, Taylor

Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik

Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan

dunia nyata dengan metode numerik, yaitu

1. Pemodelan

Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke

dalam persamaan matematika

2. Penyederhanaan model

Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja

terlalu  kompleks, misalnya mempunyai banyak peubah (variable)   atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya.

3. Formulasi numerik

Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain:

1. menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya).

Pemilihan metode didasari pada pertimbangan:

– apakah metode tersebut teliti?

– apakah dalam metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat?

– apakah dalam metode ini tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil?

2. menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

4. Pemrograman

Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.

5. Operasional

Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba     sebelum data yang sesungguhnya.

6. Evaluasi

Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis   hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang   lebih baik.

Selanjutnya kita akan belajar metode numerik tentang analisa galat