Distribusi Probabilitas Marginal

Apabila kita mempunyai distribusi bersama dari dua peubah acak X dan Y (bisa diskrit semua atau kontinu semua), maka kita dapat menentukan distribusi untuk masing-masing peubah acak Distribusi Probabilitas Marginal.

Jika X dan Y adalah variabel random diskrit bersama dengan fungsi probabilitas bersama p(x, y), maka fungsi probabilitas marginal dari X dan Y masing-masing dinyatakan dengan :

Sehingga variabel X dan Y adalah variabel random kontiniu bersama dengan fungsi kepadatan probabilitas (pdf) bersama f(x, y), maka fungsi kepadatan probabilitas marginal dari X dan Y masing-masing dinyatakan dengan :

Baca juga artikel sebelumnya tentang Distribusi Probabilitas Bersama pada Teori Peluang

Contoh :

Diketahui variabel random X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama sbb :

Tentukan :

a.Fungsi probabilitas marginal X dan Y

b.Nilai harapan X dan Y

c.P(X £ 2)

Jawab :

a.Fungsi probabilitas marginal X

X = 1 → g(x) = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) = 1/12 + 1/6 + 0 = …….

X = 2 → g(x) = f(2,1) + f(2,2) + f(2,3) = 0 + 1/9 + 1/5 = ……

X = 3 → g(x) = ….

Fungsi probabilitas marginal Y

Y = 1 → h(y) = …

Y = 2 → h(y) = …

Y = 3 → h(y) = …

Diketahui bahwa variabel random X dan Y saling bebas dan masing-masing mempunyai fungsi probabilitas sbb :

– Fungsi probabilitas marginal X à g(1) =0,2  g(2) = 0,3 dan g(3) = 0,5

– Fungsi probabilitas marginal Y à h(1) = 0,4 h(2) = 0,5 dan h(2) = 0,1

Tentukan fungsi probabilitas bersama X dan Y dan P(X+Y ≤ 4)

Jawab :

Karena f(x,y) = g(x)h(y) maka :

f(1,1) = g(1)h(1) = (0,2)(0,4)=0,08

f(1,2) = g(1)h(2) = (0,2)(0,3) = 0,06

f(1,3) = ..

f(2,1) = ..

f(2,2) = ..

f(2,3) = ..

f(3,1) = ..

f(3,2) = ..

f(3,3) = ..

P(X+Y ≤ 4)   = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + f(2,1) + f(2,2) + f(3,1)

= …………………………….

2. Diketahui

Untuk 0 ≤ x ≤ y ≤ 1

Untuk x dan y lainnya.

a.Tentukan fungsi kepadatan probabilitas marginal X

b.Tentukan fungsi kepadatan probabilitas marginal Y

c.Tentukan P( Y > 2X )

Jawab 

Latihan :

1. Dalam pemilihan pengurus koperasi terdapat 4 calon dari RW 1, 5 calon dari RW 2 dan 3 calon dari RW 3. Jika 3 orang dipilih secara acak sebagai pengurus koperasi dan diketahui X merupakan banyaknya pengurus yang terpilih dari RW 1 dan Y merupakan banyaknya pengurus yang terpilih dari RW 3,  tentukan :

a.Distribusi probabilitas bersama variabel X dan Y

b.Distribusi probabilitas marginal X dan Y

c.Nilai harapan probabilitas bersama

d.P(X + Y <3)

2. Diketahui variabel acak X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama sbb :

Tentukan :

a.Fungsi kepadatan probabilitas marginal X.

b.Fungsi kepadatan probabilitas marginal Y.

c.P( X > 2Y )

Teman – teman juga bisa menonton video tentan Distribusi Peluang | Distribusi Peluang Gabungan, Distribusi Marginal, dan Distribusi Bersyarat