Definisi

Jika p(x, y) menyatakan distribusi probabilitas bersama variabel acak X dan Y sedangkan h(y) menyatakan distribusi probabilitas marginal variabel Y , dan g(x) menyatakan distribusi probabilitas marginal X, maka:

Distribusi probabilitas bersyarat untuk X bila diberikan variabel Y = y dinyatakan dengan :

Dan distribusi probabilitas bersyarat untuk Y bila diberikan variabel X = x dinyatakan dengan :

Nilai Harapan Probabilitas Bersyarat

Jika X dan Y adalah variabel acak bersama, maka nilai harapan bersyarat dari X bila diberikan Y = y didefinisikan dengan :

Contoh :

1. Diketahui X dan Y mempunyai fungsi distribusi probabilitas bersama sbb :

a.Tentukan distribusi bersyarat untuk X jika diberikan Y = 1

b.Tentukan distribusi bersyarat untuk Y jika X = 2

c.Tentukan nilai harapan X bila Y = 1

Baca juga artikel menarik tentang Distribusi Probabilitas Marginal Pada Teori Peluang

2. Misalkan diketahui variabel acak X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama.

Tentukan :

a.Fungsi kepadatan probabilitas bersyarat Y jika X = x.

b.Fungsi kepadatan probabilitas bersyarat X jika Y = y.

c.Probabilitas X £ 0,5 jika Y = 0,75.

d.Nilai harapan E[Y|X].

Jawab :

a. Fungsi distribusi probabilitas marginal X

Sehingga fungsi kepadatan probabilitas bersyarat Y jika X = x adalah :

b. Fungsi distribusi probabilitas marginal X

Sehingga fungsi kepadatan probabilitas bersyarat X jika Y = y adalah :

Teman – teman juga bisa menonton video tentang Belajar Statistika Matematika : Distribusi Peluang Bersyarat disini

Apabila kita mempunyai distribusi bersama dari dua peubah acak X dan Y (bisa diskrit semua atau kontinu semua), maka kita dapat menentukan distribusi untuk masing-masing peubah acak Distribusi Probabilitas Marginal.

Jika X dan Y adalah variabel random diskrit bersama dengan fungsi probabilitas bersama p(x, y), maka fungsi probabilitas marginal dari X dan Y masing-masing dinyatakan dengan :

Sehingga variabel X dan Y adalah variabel random kontiniu bersama dengan fungsi kepadatan probabilitas (pdf) bersama f(x, y), maka fungsi kepadatan probabilitas marginal dari X dan Y masing-masing dinyatakan dengan :

Baca juga artikel sebelumnya tentang Distribusi Probabilitas Bersama pada Teori Peluang

Contoh :

Diketahui variabel random X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama sbb :

Tentukan :

a.Fungsi probabilitas marginal X dan Y

b.Nilai harapan X dan Y

c.P(X £ 2)

Jawab :

a.Fungsi probabilitas marginal X

X = 1 → g(x) = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) = 1/12 + 1/6 + 0 = …….

X = 2 → g(x) = f(2,1) + f(2,2) + f(2,3) = 0 + 1/9 + 1/5 = ……

X = 3 → g(x) = ….

Fungsi probabilitas marginal Y

Y = 1 → h(y) = …

Y = 2 → h(y) = …

Y = 3 → h(y) = …

Diketahui bahwa variabel random X dan Y saling bebas dan masing-masing mempunyai fungsi probabilitas sbb :

– Fungsi probabilitas marginal X à g(1) =0,2  g(2) = 0,3 dan g(3) = 0,5

– Fungsi probabilitas marginal Y à h(1) = 0,4 h(2) = 0,5 dan h(2) = 0,1

Tentukan fungsi probabilitas bersama X dan Y dan P(X+Y ≤ 4)

Jawab :

Karena f(x,y) = g(x)h(y) maka :

f(1,1) = g(1)h(1) = (0,2)(0,4)=0,08

f(1,2) = g(1)h(2) = (0,2)(0,3) = 0,06

f(1,3) = ..

f(2,1) = ..

f(2,2) = ..

f(2,3) = ..

f(3,1) = ..

f(3,2) = ..

f(3,3) = ..

P(X+Y ≤ 4)   = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + f(2,1) + f(2,2) + f(3,1)

= …………………………….

2. Diketahui

Untuk 0 ≤ x ≤ y ≤ 1

Untuk x dan y lainnya.

a.Tentukan fungsi kepadatan probabilitas marginal X

b.Tentukan fungsi kepadatan probabilitas marginal Y

c.Tentukan P( Y > 2X )

Jawab 

Latihan :

1. Dalam pemilihan pengurus koperasi terdapat 4 calon dari RW 1, 5 calon dari RW 2 dan 3 calon dari RW 3. Jika 3 orang dipilih secara acak sebagai pengurus koperasi dan diketahui X merupakan banyaknya pengurus yang terpilih dari RW 1 dan Y merupakan banyaknya pengurus yang terpilih dari RW 3,  tentukan :

a.Distribusi probabilitas bersama variabel X dan Y

b.Distribusi probabilitas marginal X dan Y

c.Nilai harapan probabilitas bersama

d.P(X + Y <3)

2. Diketahui variabel acak X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama sbb :

Tentukan :

a.Fungsi kepadatan probabilitas marginal X.

b.Fungsi kepadatan probabilitas marginal Y.

c.P( X > 2Y )

Teman – teman juga bisa menonton video tentan Distribusi Peluang | Distribusi Peluang Gabungan, Distribusi Marginal, dan Distribusi Bersyarat

Distribusi probabilitas dengan 2 variabel → Distribusi Probabilitas Bivariat. Distribusi probabilitas dengan > 2 variabel → Distribusi Probabilitas Multivariat.

Definisi

Jika X dan Y adalah variabel random disktrit, maka distribusi probabilitas bersama untuk  x dan y dinyatakan dengan :

Sifat-sifat fungsi probabilitas bersama

Contoh :

Dua isi ballpoint dipilih secara random dari sebuah kotak yang berisi 3 warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Apabila X menyatakan banyaknya ballpoint yang isinya berwarna biru dan Y menyatakan banyaknya ballpoint yang isinya berwarna merah yang terpilih. Tentukan distribusi probabilitas bersama f(x, y) dan P[(x, y) ∈ A] bila A menyatakan daerah   {(x, y) ; x + y ≤ 1}, dan tentukan P(A).

Jawab :

– X = banyaknya ballpoint isi biru, nilai x yang mungkin = 0, 1, 2

– Y = banyaknya ballpoint isi merah, nilai y yang mungkin = 0, 1, 2

Banyaknya cara melakukan pengambilan    2 ballpoint dari seluruh ballpoint adalah :

Sehingga banyaknya cara pengambilan    x ballpoint berwarna biru :

Jadi Banyaknya cara pengambilan       y ballpoint berwarna merah :

Karena variabel yang diamati hanya banyaknya pena berwarna biru dan merah yang terpilih, maka banyaknya cara pengambilan ballpoint berwarna hijau :

Sehigga

–   untuk x = 0 dan y = 0 → tidak ada ballpoint warna merah atau biru yang terambil, peluangnya adalah :

– x = 1, y = 0 → yang terambil 1 ballpoin biru 0 ballpoint merah.

Tabel distribusi probabilitas bersama

Jika A = {(x, y) ; x + y £ 1}  → A = {(0,0), (0,1), (1,0)}

Sehingga P(A) = p(0,0) + p(0,1) + p(1,0) = …

Fungsi Distribusi Probabilitas Bersama

Untuk sebarang variabel random X dan Y , fungsi distribusi bersama F(a,b) dinyatakan sebagai :

variabel  X dan Y variabel diskrit, maka :

Kemudian Variabel X dan Y variabel kontiniu, jika terdapat fungsi tidak negatif f(a, b) sedemikian hingga untuk sembarang bilangan real a dan b, berlaku :

Dimana fungsi f(x, y)

fungsi kepadatan probabilitas bersama

Contoh :

Diberikan fungsi kepadatan probabilitas bersama f(x, y) = 4xy untuk             0 < x < 1 dan 0 < y < 1. Tentukan :

1. P( X < 0,5 ; Y < 0,5 )
2. P( X + Y < 1 )

Jawab :

Baca juga artikel menarik tentang Nilai Harapan atau Ekspektasi Matematik

Nilai Harapan  Distribusi Probabilitas Bersama

 Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan  f(x,y), maka  nilai harapan  perubah acak  g(X,Y) adalah :

Contoh

Berdasarkan tabel distribusi probabilitas bersama untuk pemilihan ballpoint pada contoh sebelumnya, maka nilai harapannya adalah :

Covariansi

Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata μx  dan μy  diberikan oleh rumus:

Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan  f(x,y), maka  kovariansi  X dan Y adalah

Teman – teman juga bisa menonton video tentang Distribusi Probabilitas Bersama pada Teori Peluang

Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang memberikan hasil dalam dua kelompok(sukses dan gagal).Variabel acak geometrik mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali.

Fungsi Distribusi Probabilitas Geometrik

Contoh :

1. Di dalam suatu proses produksi tertentu diketahui bahwa, secara rata-rata, 1 di dalam setiap100 barang adalah cacat. Berapakah probabilitas bahwa barang kelima yang diperiksa merupakan barang cacat pertama yang ditemukan?

Jawab :

Dengan menggunakan sebaran geometri dengan x = 5 dan      p = 0,01, maka diperoleh :

2. Pada seleksi karyawan baru sebuah perusahaan terdapat 3dari10 pelamar sarjana komputer sudah mempunyai keahlian komputer tingkat advance dalam pembuatan program. Para pelamar diinterview secara intensif dan diseleksi secara random.

a.Hitunglah persentase sarjana dengan keahlian tingkat advance yang diterima dari jumlah pelamar yang ada?

b.Berapa probablilitas pertama kali pelamar diterima pada interview ke 3 yang dilakukan?

c.Berapakah rata-rata pelamar yang memebutuhkan interview guna mendapatkan satu calon dengan keahlian tingkat advance?

Jawab :

a.Sarjana dengan keahlian tingkat advance = 3, jumlah pelamar = 10

persentase yang diterima :

3 / 10 x 100% = 30 %

b.

Distribusi Hipergeometik

Probabilitas kejadian suatu obyek tanpa pengembalian. Dalam pengujian kualitas suatu produksi, maka obyek yang diuji tidak akan diikutkan lagi dalam pengujian selanjutnya, artinya tidak dikembalikan.

Percobaan hipergeometrik memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

• Sebuah pengambilan acak dengan ukurann dipilih tanpa pengembalian dari N obyek
• K dari N obyek dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan    N – k diklasifikasikan sebagai gagal.

Fungsi distribusi probabilitas hipergeometrik

Distribusi probabilitas hipergeometrik dari variabel acak X  yang menyatakan banyaknya outcome “sukses” dalam sebuah pengambilan acak berukuran n yang dipilih dari N obyek dimana k obyek sebagai “sukses” dan N – k obyek sebagai “gagal”, dinyatakan dengan :

• Suku pembagi (denominator) menyatakan  banyak  kombinasi  yg terjadi  jika dari N obyek diambil  n tiap  kali.
• Faktor pertama suku  terbagi  (numerator) menyatakan  banyaknya  kombinasi dari obyek berjenis  “sukses”  yg berjumlah  k jika  tiap kali diambil  sebanyak x buah.
• Faktor kedua suku terbagi  (numerator)  menyatakan  banyaknya kombinasi  dari obyek berjenis  “gagal”  sebanyak N-k jika  tiap kali diambil  sebanyak  (n-x) buah.

Contoh :

1. Suatu kepanitiaan yang terdiri 5 orang dipilih secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki-laki. Hitung distribusi probabilitas banyaknya perempuan yang duduk dalam panitia.

Misalkan :

X = menyatakan banyaknya perempuan dalam panitia = {0, 1, 2, 3}

N = jumlah calon anggota panitia = 8

n = jumlah anggota panitia = 5

k = jumlah calon anggota perempuan = 3

Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus :

2. Sebuah paket yang terdiri dari 40 item, dinyatakan ditolak jikalau paket tersebut mengandung 3 item cacat atau lebih. Prosedur sampling yang diterapkan adalah dengan mengambil 5 item sebagai sampel dan memeriksa kondisinya, jika dari 5 item tersebut ditemui ada yang cacat, maka keseluruhan paket ditolak.

a.Hitung probabilitas jika ternyata paket mengandung 3 item cacat, tetapi dari 5 sampel yang diperiksa hanya terdapat 1 yang cacat.

b. Jika X menyatakan banyak item yang cacat hitunglah nilai mean dan varians-nya

Jawab :

a.Jumlah  total item (N) = 40,

jumlah sampel yang diambil (n) = 5

Banyak item cacat yang terambil dari 5 sampel (x) = 1

Total item cacat dalam populasi (k) = 3

jawab

b. Rata-rata jumlah sampel cacat yang terambil adalah :

dengan nilai varians :

Silahkan di baca artikel menarik tentang Distribusi Binomial pada Teori peluang.

Video tentang Distribusi Peluang Geometrik bisa juga anda tonton untuk menambah ilmu tentang geometrik distribusi

• Distribusi ini hanya mengenal dua keadaan, yaitu berhasil atau gagal.
• Distribusi ini sering disebut juga sebagai proses Bernoulli (Bernoulli trials).

Ciri-ciri proses Bernoulli:

1. Ada dua kejadian yang bisa terjadi dan saling asing  pada setiap percobaan, yaitu: sukses dan gagal.
2. Urutan dari percobaan tersebut merupakan kejadian  independen
3. Probabilitas sukses dinyatakan sebagai p, dimana nilai  p ini tetap dari satu percobaan ke percobaan  berikutnya atau dari satu kejadian ke kejadian lainnya.

Ada tiga nilai yang diperlukan dalam proses Bernoulli:

• jumlah percobaan → n dimana setiap hasil keluaran saling independen,
• jumlah keberhasilan → X
• probabilitas keberhasilan dari X → p

Contoh :

Sebuah proses Bernoulli untuk QC dilakukan dengan memilih 3  komponen secara simultan dari sebuah proses produksi. Setiap  komponen yg diambil dinyatakan “sukses” jika berkondisi baik, dan  “gagal” jika ternyata komponen tersebut . Variabel random X didefinisikan sebagai  banyaknya “sukses” dalam pengambilan 3 komponen tsb, maka :

Ruang sampel bagi X adalah (S: sukses, G: gagal) :

Misalkan diketahui dari proses QC tahun lalu, sebanyak 75% produksi komponen  tersebut berkondisi baik (“S”). Jadi probabilitas 1 kali pengambilan menghasilkan kondisi baik = probabilitas “sukses”

→ p = 3/4, berarti  probabilitas “gagal” q = 1 – 3/4 =1/4

Untuk  X = 1, ada 3 keluaran hasil yaitu : SGG, GSG, GGS

p(SGG) = (¾) . (¼) . (¼) = 3/64

jika f( X = 1 ) menyatakan probabilitas X = 1, maka probabilitasnya :

Baca juga artikel tentang Hukum Peluang Total Pada Teori Peluang

Fungsi Distribusi Binomial

Proses Bernoulli dimana pada tiap percobaan memiliki probabilitas sukses p (atau probabilitas gagal q = 1 – p ), maka fungsi distribusi probabilitas  f(x) dapat dinyatakan dengan persamaan kombinasi, yaitu :

Yang berarti bahwa dari n kali percobaan yang independen mengandung x buah hasil keluaran “sukses”

Sifat dari f(x : n , p) sebagai fungsi probabilitas :

• Nilai mean dan varians dari distribusi Binomial ditentukan oleh berbagai peristiwa yang dihasilkan dari percobaan Binomial.
• Jika sebuah variabel X terdiri dari n percobaan, dimana tiap kali hasil percobaannya disebut Lk yg bisa bernilai “sukses” atau “gagal” dengan probabilitas “sukses” = p.
• Maka mean dari populasi distribusi Binomial dinyatakan

Varians dari total populasi distribusi binomial

Contoh :

Dari hasil penelitian didapatkan bahwa probabilitas  seseorang untuk sembuh dari sakit kanker dengan  pemberian obat tertentu adalah 60%. Jika diambil 10  orang yang terjangkit penyakit secara acak, hitung:

1. Probabilitas tidak lebih dari 3 orang untuk sembuh
2. Probabilitas sedikitnya 5 orang untuk sembuh
3. Hitung rata-rata dan simpangan baku pasien sembuh

Jawab :  1.

Jawaban soal no. 2

Jawaban soal no. 3

Distribusi Multinomial

Percobaan BINOMIAL akan menjadi percobaan MULTINOMIAL apabila tiap percobaan dapat memberikan lebih dari DUA hasil yang mungkin.

Ciri-ciri :

1. Terdiri dari n kali percobaan yan identik
2. Terdapat k jenis keluaran untuk tiap percobaan
3. Peluang dari masing-masing keluaran adalah p1 , p2 , … , pk bernilai tetap dari satu percobaan ke percobaan yang lain dan p1 + p2 + … + pk  = 1
4. Semua percobaan bersifat independen (bebas)
5. Variabel acak multinomial adalah Y1 , Y2 , … Yk untuk setiap k jenis keluaran

Probabilitas distribusi multinomial dinyatakan dengan :

dimana :

pi = peluang keluaran ke-i dalam percobaan tunggal

n = y1 + y2 + … + yk = jumlah percobaan

yi = jumlah kemunculan keluaran ke-i dalam n percobaan

Contoh :

Sebuah penelitian menunjukkan bahwa 10% monitor komputer memberikan radiasi tinggi, 30% sedang, dan 60% rendah. Bila diambil sampel acak 40 monitor dari sebuah populasi, hitunglah :

1. Peluang bahwa 10 monitor memiliki radiasi tinggi, 10 sedang dan 20 rendah
2. Rata-rata dan varians monitor dengan radiasi tinggi dari 40 monitor yang terpilih sebagai sampel

Jawab :

a.Ditentukan :

y1 = jumlah monitor dengan radiasi tinggi =

y2 = jumlah monitor dengan radiasi sedang =

y3 = jumlah monitor dengan radiasi rendah =

p1 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi tinggi =

p2 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi sedang =

p3 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi rendah  =

Rata-rata dan varians terpilihnya monitor dengan radiasi tinggi :

Distribusi Binomial Negatif

Percobaan BINOMIAL NEGATIF ingin mengetahui peluang bahwa sukses  ke – r terjadi pada percobaan ke – x. Sehingga distribusi BINOMIAL NEGATIF merupakan banyaknya percobaan yang berakhir tepat pada sukses ke – r.

Ciri – ciri

1.Kondisi umum IDENTIK dengan distribusi peluang binomial

2.Pengecualian pada perubahan definisi variabel random Y.

y = jumlah trial yang diperlukan untuk memperoleh keluaran S (SUKSES) ke – i.

Contoh :

Untuk memasang baut, digunakan sebuah peralatan elektrik dengan tingkat keberhasilan 0,8 dalam selang waktu 1 detik. Jika operator gagal memasang baut dalam selang waktu 1 detik pertama, tingkat keberhasilan pemasangan pada selang waktu 1 detik kedua dianggap tetap 0,8.dalam 1 rangkaian assembly, terdapat 4 baut yang harus dipasang. Tentukan :

1. Distribusi probabilitas y, yaitu waktu (detik) yang diperlukan untuk memasang ke-4 baut dalam 1 assembly.
2. Peluang bahwa waktu yang diperlukan untuk memasang ke-4 baut tersebut adalah 6 detik

teman – teman bisa juga melihat video tutorial tentan Distribusi Binomial (Contoh Soal)

Pdf dinyatakan sebagai f(x), dan nilainya bisa lebih besar dari 1.

Silahkan di baca artikel sebelumnya tentang Variabel Acak dan Distribusi Peluang

Fungsi Kepadatan Probabilitas Variabel Acak Kontinyu

• Secara teoritis kurva probabilitas populasi diwakili oleh poligon frekuensi relatif yang dimuluskan (variabel acak  kontiniu diperlakukan seperti variabel acak diskrit yang rapat).
• Karena itu fungsi dari variabel acak kontiniu merupakan fungsi kepadatan probabilitas (probability density function – pdf).
• Pdf menggambarkan besarnya propabilitas per unit interval nilai variabel acaknya.

Contoh :

Diketahui suatu variabel acak X memiliki fungsi kerapatan probabilitas (pdf) sbb :

Grafik probability density fuction – pdf

Bagi yang belum paham dapat juga menonton video berikut ini tentang Fungsi Kepadatan Peluang

1. Suatu fungsi yang bernilai riil dari domain ruang sampel dari sebuah eksperimen acak.
2. Nilainya berhubungan dengan kejadian sederhana dalam ruang sampelnya.

Contoh:

• Kandungan sulfur pada 1 kuintal pupuk
• Jarak yang ditempuh untuk 10 liter bensin
• Jumlah hari hujan dalam setahun

Variabel Acak terbagi 2 :

1. Variabel Acak Diskrit :

•   Variabel yang memiliki nilai pada titik tertentu
•   Nilainya dapat dihitung (countable)

Kejadian yang mungkin jumlahnya berhingga dan dapat berarti dilakukan secara berkala, operasionalnya menggunakan operasional fungsi diskrit. Untuk menghitung jumlah peluang semua kejadian dituliskan dengan :

Notasi

• X → variabel acak
• x → nilai variabel acak

Silahkan baca artikel sebelumnya tentang Hukum Peluang Total Pada Teori Peluang

Contoh :

Sebuah laundry memiliki 4 mesin cuci yang bisa disewa pelanggan. Diperkirakan mesin-mesin tersebut dapat berfungsi hingga 5 tahun ke depan. Jika X menyatakan keadaan mesin yang masih baik, tentukan ruang sampel dari variabel acak X

Jawab :

Jika B → kondisi mesin baik, dan R→ mesin rusak, maka kombinasi dari kemungkinan kondisi ke-4 mesin cuci tersebut adalah:

BBBB, BBBR, BBRB, BRBB, RBBB, BBRR, RRBB, BRBR, RBRB, RBBR, BRRB, BRRR, RBRR,, RRBR, RRRB, RRRR

Dari tabel dapat diketahui variabel acak X adalah :

X = 0, 1, 2, 3, 4

dan ruang sampel

S = {  X | 0 £ X £ 4 }

Peluang Variabel Acak Teori Peluang

• Merupakan Peluang terjadinya / kemunculan nilai dari variabel acak X.
• Nilainya berkisar dari 0 sampai 1.
• Peluang kemunculan nilai variabel acak X pada sebuah range tertentu akan tersebar dengan model sebaran tertentu à Distribusi Probabilitas.
• Jumlahan dari seluruh fungsi distribusi probabilitas akan menuju ke nilai maksimum dari peluang, yaitu 1.
• Jumlahan ini dinamakan → Cummulative Distribution Function (CDF).

Fungsi Massa Peluang (Probability Mass Function – pmf)

Jika pada sebuah pengamatan ditampilkan seluruh outcome (keluaran) yang mungkin dari variabel diskrit X, yaitu x1, x2, … ,xn  maka nilai-nilai probabilitas masing-masing variabel diskrit X dinyatakan sebagai:

Nilai-nilai dari fungsi probabilitas berada dalam interval 0 sampai 1, sehingga 0 ≤ p(x) ≤ 1

Jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas adalah 1,

sehingga ∑ p(x) = 1

Fungsi Distributif Kumulatif (Cummulative Distribution Function – cdf)

Menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi peluang yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.

Dinyatakan sebagai :

Contoh :

1. Tentukan distribusi probabilitas dari contoh sebelumnya (mesin laundry)

Jawab :

Ruang sampel :  S = { X | 0 ≤ X ≤ 4 }

Distribusi probabilitas xi :

Rata-rata kondisi mesin baik setelah 5 tahun adalah :

Grafik Distribusi Probabilitas

Grafik Distribusi Kumulatif

Bagi teman – teman yang belum paham bisa juga menonto video ini 

Sebelumnya kita sudah membahas tentang Peluang Bersyarat Pada Mata Kuliah Teori Peluang bagi teman – teman yang ingin belum mengetahui tentang peluang bersyarat dapat membaca artikel sebelumnya

Perhatikan Diagram Venn Berikut :

Misalkan ruang sampel  S dipartisi menjadi  dua bagian yaitu B dan Bc , dimana kejadian A  merupakan himpunan bagian dari  S, sehingga  (B ∩ A) dan (Bc ∩ C) saling terpisah dan A = (B∩ A) ∪ (Bc ∩ C)

Contoh :

Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMU di suatu kelurahan tertentu dikelompokkan menurut status pekerjaannya yaitu 400 orang bekerja dan 200 orang tidak bekerja. Kelurahan tersebut akan mengadakan acara  Peringatan HUT RI dan seseorang akan dipilih secara acak sebagai ketua panitia. Jika diketahui ada 40 orang yang berstatus bekerja dan 10 orang yang berstatus tidak bekerja adalah anggota koperasi, berapa peluang orang yang terpilih sebagai ketua panitia adalah anggota koperasi ?

Solusi :

Misal :   B = orang yang terpilih berstatus bekerja

Bc  = orang yang terpilih berstatus tidak bekerja

A = orang yang terpilih anggota koperasi

Sehingga peluang orang yang terpilih adalah anggota koperasi yaitu :

Diagram Pohon:

Jika dalam ruang sampel (S) terdapat kejadian-kejadian saling lepas B1 , B2 , … , Bk dengan peluang ≠ 0, dan bila ada kejadian A yang mungkin dapat terjadi pada kejadian B1 , B2 , … , Bk maka peluang kejadian A adalah :

Teorema Bayes

Teorema Bayes pada teori peluang

• Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes
• Digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.
• Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi.
• Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.

Teman – teman juga dapat membaca jurnal yang terkait dengan sistem pakar pada teorema bayes ini

Contoh :

Tiga mahasiswa di STTP dicalonkan sebagai ketua BEM. Diketahui peluang Ali (A) terpilih 0,3 ; peluang Basuki (B) terpilih 0,5 dan peluang Catur (C) terpilih 0,2. Juga telah diketahui peluang kenaikan iuran kegiatan mahasiswa jika A terpilih 0,8 ; jika B terpilih 0,1 dan jika C terpilih 0,4.

a.  Berapa peluang iuran kegiatan mahasiswa akan naik?

b.  Berapa peluang Catur (C) terpilih sbg ketua jika terjadi kenaikan iuran?

Solusi :

Misal :  I = iuran kegiatan mahasiswa dinaikan

A = Ali terpilih  → P(A) = 0,3  →P(I|A) = 0,8

B = Basuki terpilih  → P(B) = 0,5  → P(I|B) = 0,1

C = Catur terpilih  → P(C) = 0,2  → P(I|C) = 0,4

a. Peluang iuran kegiatan mahasiswa akan naik adalah :

b. Peluang Catur terpilih sebagai ketua jika terjadi kenaikan iuran kegiatan mahasiswa adalah

Latihan :

1.Di suatu desa terdapat 1250 orang yang tergolong ke dalam usia kerja, yang terdiri atas 750 orang laki-laki dan 500 orang wanita. Di antara 750 orang laki-laki terdapat 650 orang yang bekerja dan di antara 500 orang wanita terdapat 200 orang yang bekerja. Jika dari mereka yang tergolong ke dalam usia kerja dipilih seorang secara acak, tentukan

a.Peluang yang terpilih adalah laki-laki yang bekerja

b.Peluang yang terpilih adalah wanita yang tidak bekerja

2. Misalkan kita mengambil tiga kartu, diambil tiga kali, pada sekelompok kartu bridge yang lengkap.  Setiap  kali mengambil,  kartu  yang  terpilih tidak  dikembalikan  pada kelompok kartu ini. Tentukan peluang untuk memperoleh tiga kartu AS secara berturut-turut

3. Pada mata kuliah Teori Peluang diikuti oleh 35 mahasiswa tahun ke 1, 15 mahasiswa tahun ke 2 dan 10 mahasiswa tahun ke 3. Diketahui mahasiswa yang mendapatkan nilai A adalah 10 orang dari mahasiswa tahun ke 1, 8 orang dari mahasiswa tahun ke 2 dan 5 orang mahasiswa tahun ke 3. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak tentukan peluang yang terpilih adalah :

a.Mahasiswa yang mendapatkan nilai A

b.Pada Mahasiswa tahun ke 1 bila diketahui dia mendapatkan  A

c. Sedangkan Mahasiswa tahun ke 2 bila diketahui dia mendapatkan A

d.Mahasiswa tahun ke 3 bila diketahui dia mendapatkan A

4. Sebuah pabrik  menggunakan  4  buah  mesin  A1, A2, A3 dan A4 untuk menghasilkan satu macam barang. Hasilnya pada akhir bulan adalah : dari mesin  A1 = 100  buah, dari mesin   A2 = 120  buah,  dari  mesin  A3 = 180 buah dan dari mesin A4 = 200 buah. Jumlah seluruhnya ada 600 buah. Diketahui peluang setiap mesin  menghasilkan  barang  yang rusak adalah mesin A1 5% , mesin A2 3%, mesin A3 2% dan mesin A4 = 4%. Jika dari 600 buah barang tersebut diambil 1 secara random dan ternyata rusak,  berapakah  peluang bahwa  barang  tersebut  berasal  dari :

a.Mesin A2

b.Mesin A4

Bagi teman – teman yang baru bergabung silahkan baca dulu artikel sebelumnya tentang Ruang Sampel Kejadian Peluang Lanjutan

• Dalam hubungan peristiwa-peristiwa bersyarat, suatu peristiwa hanya bisa terjadi kalau ada peristiwa yang mendahului-nya terjadi
• Dua macam probabilitas :

1.P(A) = Peluang terjadinya peristiwa A atau peristiwa yang pertama

2.P(B|A)= Peluang terjadinya peristiwa B setelah peristiwa A terjadi

Peluang kejadian bersyarat :

Secara umum jika peristiwa B1 dan B2 saling asing → B1 ∩ B2 = Ø, maka :

Contoh :

1.Misalkan sebuah dadu bersisi 6 dilempar, dan A kejadian muncul mata dadu kurang dari 6, dan  B  adalah  kejadian  muncul  mata  dadu  Genap.  Apabila  kejadian  A  dan  B  dilakukan secara  berurutan,  maka  berapakah kemungkinan  muncul  mata  dadu  Genap  apabila didahului oleh kejadian munculnya mata dadu kurang dari 6?

Jawab :

S = {…………………………..}

A = {……………………………}

P(A) =

B = {……………..}

P(B) =

A ∩B = {……………}

P(A ∩B) =

2. Diberikan populasi calon mahasiswa PT X yang dibagi menurut jenjang kelamin dan status latar belakang pendidikan mereka, sebagai berikut :

Hitunglah :

a.Peluang yang diterima adalah laki-laki dengan latar pendidikan IPA

b.Peluang yang diterima adalah wanita dengan latar pendidikan IPS

3. Peluang sebuah penerbangan reguler berangkat tepat pada waktunya adalah P(B) = 0,83. Peluang penerbangan itu mendarat tepat pada waktunya adalah P (A) = 0,92 dan peluang penerbangan itu berangkat dan mendarat tepat pada waktunya adalah P(A∩B) = 0,78. Hitung peluang suatu pesawat pada penerbangan tersebut, jika :

a. Mendarat pada waktunya jika diketahui bahwa pesawat itu berangkat tepat pada waktunya

b. Berangkat pada waktunya jika diketahui bahwa pesawat tersebut mendarat tepat waktu.

Bagi teman – teman ingin mendalami tentang peluang bersyarat dapat membaca artikel berikut ini

Kaidah Penggandaan

Adapun kaidah penggandaan pada teori peluang dapat kita contohkan Bila suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka

Karena kejadian A  ∩ B dan B ∩ A setara, dapat ditulis juga

Contoh :

1. Dalam sebuah kotak terdapat 10 gulungan film, dan diketahui bahwa 3 diantaranya rusak. Hitung peluang bila 2 buah gulungan film rusak diambil acak satu persatu secara berurutan.

Jawab :

Misal

A : peristiwa terambil gulungan pertama rusak

B : peristiwa terambil gulungan kedua rusak jika gulungan yang pertama terambil rusak

Maka peluang kedua gulungan rusak adalah :

2. Kotak A berisi 10 bola merah (Ma) dan 15 bola hijau (Ha). Kotak B berisi 12 bola merah (Mb) dan 17 bola hijau (Hb). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang bahwa 2 bola yang terambil berwarna hijau!

Artikel selanjutnya kita akan membahas tentang Hukum Peluang Total Pada Teori Peluang

Sebelumnya bagi teman – teman yang baru bergabung silahkan baca Ruang Sampel Kejadian Peluang Konsep Dasar Peluang

Peluang adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian

Ukuran kemungkinan dinyatakan dalam besaran numerik antara 0 sampai 1

0 → kejadian yang mustahil

1 → kejadian yang pasti terjadi

Peluang suatu kejadian adalah rasio antara banyaknya kejadian n(A) dengan ukuran ruang sampel n(S)

Notasi → P(A) sebagai peluang kejadian A

Contoh :

1.Tentukan peluang kejadian munculnya setiap sisi dadu jika dilempar sebanyak 1 kali

Solusi :

Ruang sampel → S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6

Jika setiap sisi dadu seimbang maka peluangnya munculnya setiap sisi :

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6

2. Tentukan peluang kejadian dari melempar sebuah dadu jika kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul <= 4

Solusi :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6

A = {1, 2, 3, 4} → n(A) = 4

P(A) = 4/6 = 2/3

Hukum Peluang

Teorema 1

Jika A dan B dua kejadian saling bebas, maka :

Hukum Peluang Kejadian Saling Lepas

Jika A dan B dua kejadian saling lepas, maka :

Perhatikan diagram venn berikut

Gambar (a)  kejadian saling lepas                                                               Gambar (b)  kejadian saling bebas

Pada dua kejadian saling lepas

Karena

Contoh :

1. Apabila A dan B dua keadian saling lepas, dengan P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,25, tentukan P(A ∪ B)!

Solusi :

P(A ∪ B)   = P(A) + P(B)  = …….?

2.Peluang kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5 dan 8 apabila dua buah dadu dilempar sekali adalah?

Solusi :

Misalkan :

S = Kemungkinan semua kejadian yang akan muncul ruang  sampel

A = Kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5

B = Kejadian munculnya mata dadu berjumlah 8

Hukum Peluang Kejadian Saling Bebas

Apabila A dan B dua kejadian saling bebas, maka :

Konsep dua kejadian saling bebas dapat dikembangkan untuk tiga kejadian saling bebas antara A, B dan C, yaitu :

Contoh :

Apabila  3  Mata  Uang  Logam  dilemparkan  sekali,  tunjukkan  bahwa  munculnya sisi angka dari ketiga uang logam tersebut adalah kejadian saling bebas?

Jawab :

Misalkan,

S = ruang sampel

X = kejadian munculnya sisi angka pada uang logam I.

Y = kejadian munculnya sisi angka pada uang logam II.

Z = kejadian munculnya sisi angka pada uang logam III.

Berarti,

S = {(A1A2A3), (A1A2G3), (A1G2A3)………………………………………..}

n(S) = ………….

X = {………………………………………………..}

n(X) = …………

Y = {…………………………………………………}

n(Y) = …………

Z = {…………………………………………………}

n(Z) = …………

X Ç Y Ç Z = {……………………..}

n(X Ç Y Ç Z) = ………….

Hukum Total Probabilitas

Teman – teman juga bisa baca tentang aturan – aturan dalam probabilitas