Definisi

Jika p(x, y) menyatakan distribusi probabilitas bersama variabel acak X dan Y sedangkan h(y) menyatakan distribusi probabilitas marginal variabel Y , dan g(x) menyatakan distribusi probabilitas marginal X, maka:

Distribusi probabilitas bersyarat untuk X bila diberikan variabel Y = y dinyatakan dengan :

Dan distribusi probabilitas bersyarat untuk Y bila diberikan variabel X = x dinyatakan dengan :

Nilai Harapan Probabilitas Bersyarat

Jika X dan Y adalah variabel acak bersama, maka nilai harapan bersyarat dari X bila diberikan Y = y didefinisikan dengan :

Contoh :

1. Diketahui X dan Y mempunyai fungsi distribusi probabilitas bersama sbb :

a.Tentukan distribusi bersyarat untuk X jika diberikan Y = 1

b.Tentukan distribusi bersyarat untuk Y jika X = 2

c.Tentukan nilai harapan X bila Y = 1

Baca juga artikel menarik tentang Distribusi Probabilitas Marginal Pada Teori Peluang

2. Misalkan diketahui variabel acak X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama.

Tentukan :

a.Fungsi kepadatan probabilitas bersyarat Y jika X = x.

b.Fungsi kepadatan probabilitas bersyarat X jika Y = y.

c.Probabilitas X £ 0,5 jika Y = 0,75.

d.Nilai harapan E[Y|X].

Jawab :

a. Fungsi distribusi probabilitas marginal X

Sehingga fungsi kepadatan probabilitas bersyarat Y jika X = x adalah :

b. Fungsi distribusi probabilitas marginal X

Sehingga fungsi kepadatan probabilitas bersyarat X jika Y = y adalah :

Teman – teman juga bisa menonton video tentang Belajar Statistika Matematika : Distribusi Peluang Bersyarat disini

Apabila kita mempunyai distribusi bersama dari dua peubah acak X dan Y (bisa diskrit semua atau kontinu semua), maka kita dapat menentukan distribusi untuk masing-masing peubah acak Distribusi Probabilitas Marginal.

Jika X dan Y adalah variabel random diskrit bersama dengan fungsi probabilitas bersama p(x, y), maka fungsi probabilitas marginal dari X dan Y masing-masing dinyatakan dengan :

Sehingga variabel X dan Y adalah variabel random kontiniu bersama dengan fungsi kepadatan probabilitas (pdf) bersama f(x, y), maka fungsi kepadatan probabilitas marginal dari X dan Y masing-masing dinyatakan dengan :

Baca juga artikel sebelumnya tentang Distribusi Probabilitas Bersama pada Teori Peluang

Contoh :

Diketahui variabel random X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama sbb :

Tentukan :

a.Fungsi probabilitas marginal X dan Y

b.Nilai harapan X dan Y

c.P(X £ 2)

Jawab :

a.Fungsi probabilitas marginal X

X = 1 → g(x) = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) = 1/12 + 1/6 + 0 = …….

X = 2 → g(x) = f(2,1) + f(2,2) + f(2,3) = 0 + 1/9 + 1/5 = ……

X = 3 → g(x) = ….

Fungsi probabilitas marginal Y

Y = 1 → h(y) = …

Y = 2 → h(y) = …

Y = 3 → h(y) = …

Diketahui bahwa variabel random X dan Y saling bebas dan masing-masing mempunyai fungsi probabilitas sbb :

– Fungsi probabilitas marginal X à g(1) =0,2  g(2) = 0,3 dan g(3) = 0,5

– Fungsi probabilitas marginal Y à h(1) = 0,4 h(2) = 0,5 dan h(2) = 0,1

Tentukan fungsi probabilitas bersama X dan Y dan P(X+Y ≤ 4)

Jawab :

Karena f(x,y) = g(x)h(y) maka :

f(1,1) = g(1)h(1) = (0,2)(0,4)=0,08

f(1,2) = g(1)h(2) = (0,2)(0,3) = 0,06

f(1,3) = ..

f(2,1) = ..

f(2,2) = ..

f(2,3) = ..

f(3,1) = ..

f(3,2) = ..

f(3,3) = ..

P(X+Y ≤ 4)   = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + f(2,1) + f(2,2) + f(3,1)

= …………………………….

2. Diketahui

Untuk 0 ≤ x ≤ y ≤ 1

Untuk x dan y lainnya.

a.Tentukan fungsi kepadatan probabilitas marginal X

b.Tentukan fungsi kepadatan probabilitas marginal Y

c.Tentukan P( Y > 2X )

Jawab 

Latihan :

1. Dalam pemilihan pengurus koperasi terdapat 4 calon dari RW 1, 5 calon dari RW 2 dan 3 calon dari RW 3. Jika 3 orang dipilih secara acak sebagai pengurus koperasi dan diketahui X merupakan banyaknya pengurus yang terpilih dari RW 1 dan Y merupakan banyaknya pengurus yang terpilih dari RW 3,  tentukan :

a.Distribusi probabilitas bersama variabel X dan Y

b.Distribusi probabilitas marginal X dan Y

c.Nilai harapan probabilitas bersama

d.P(X + Y <3)

2. Diketahui variabel acak X dan Y mempunyai fungsi probabilitas bersama sbb :

Tentukan :

a.Fungsi kepadatan probabilitas marginal X.

b.Fungsi kepadatan probabilitas marginal Y.

c.P( X > 2Y )

Teman – teman juga bisa menonton video tentan Distribusi Peluang | Distribusi Peluang Gabungan, Distribusi Marginal, dan Distribusi Bersyarat

Distribusi probabilitas dengan 2 variabel → Distribusi Probabilitas Bivariat. Distribusi probabilitas dengan > 2 variabel → Distribusi Probabilitas Multivariat.

Definisi

Jika X dan Y adalah variabel random disktrit, maka distribusi probabilitas bersama untuk  x dan y dinyatakan dengan :

Sifat-sifat fungsi probabilitas bersama

Contoh :

Dua isi ballpoint dipilih secara random dari sebuah kotak yang berisi 3 warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Apabila X menyatakan banyaknya ballpoint yang isinya berwarna biru dan Y menyatakan banyaknya ballpoint yang isinya berwarna merah yang terpilih. Tentukan distribusi probabilitas bersama f(x, y) dan P[(x, y) ∈ A] bila A menyatakan daerah   {(x, y) ; x + y ≤ 1}, dan tentukan P(A).

Jawab :

– X = banyaknya ballpoint isi biru, nilai x yang mungkin = 0, 1, 2

– Y = banyaknya ballpoint isi merah, nilai y yang mungkin = 0, 1, 2

Banyaknya cara melakukan pengambilan    2 ballpoint dari seluruh ballpoint adalah :

Sehingga banyaknya cara pengambilan    x ballpoint berwarna biru :

Jadi Banyaknya cara pengambilan       y ballpoint berwarna merah :

Karena variabel yang diamati hanya banyaknya pena berwarna biru dan merah yang terpilih, maka banyaknya cara pengambilan ballpoint berwarna hijau :

Sehigga

–   untuk x = 0 dan y = 0 → tidak ada ballpoint warna merah atau biru yang terambil, peluangnya adalah :

– x = 1, y = 0 → yang terambil 1 ballpoin biru 0 ballpoint merah.

Tabel distribusi probabilitas bersama

Jika A = {(x, y) ; x + y £ 1}  → A = {(0,0), (0,1), (1,0)}

Sehingga P(A) = p(0,0) + p(0,1) + p(1,0) = …

Fungsi Distribusi Probabilitas Bersama

Untuk sebarang variabel random X dan Y , fungsi distribusi bersama F(a,b) dinyatakan sebagai :

variabel  X dan Y variabel diskrit, maka :

Kemudian Variabel X dan Y variabel kontiniu, jika terdapat fungsi tidak negatif f(a, b) sedemikian hingga untuk sembarang bilangan real a dan b, berlaku :

Dimana fungsi f(x, y)

fungsi kepadatan probabilitas bersama

Contoh :

Diberikan fungsi kepadatan probabilitas bersama f(x, y) = 4xy untuk             0 < x < 1 dan 0 < y < 1. Tentukan :

1. P( X < 0,5 ; Y < 0,5 )
2. P( X + Y < 1 )

Jawab :

Baca juga artikel menarik tentang Nilai Harapan atau Ekspektasi Matematik

Nilai Harapan  Distribusi Probabilitas Bersama

 Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan  f(x,y), maka  nilai harapan  perubah acak  g(X,Y) adalah :

Contoh

Berdasarkan tabel distribusi probabilitas bersama untuk pemilihan ballpoint pada contoh sebelumnya, maka nilai harapannya adalah :

Covariansi

Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata μx  dan μy  diberikan oleh rumus:

Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan  f(x,y), maka  kovariansi  X dan Y adalah

Teman – teman juga bisa menonton video tentang Distribusi Probabilitas Bersama pada Teori Peluang

Nilai harapan/ekspektasi adalah harapan/perkiraan rata-rata nilai yang muncul.

Notasi → E(X) Untuk suatu variabel acak diskrit X yang memiliki nilai-nilai yang mungkin x1 , x2, …, xn , nilai harapan dari X didefinisikan sebagai :

Contoh :

Suatu percobaan dua uang logam yang dilantunkan 16 kali. Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul per lantunan, maka X dapat berharga 0, 1, dan 2. Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan sebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka rata-rata banyaknya sisi muka per lantunan [=nilai harapan matematik] adalah :

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x),  maka nilai harapan (atau rata-rata) perubah acak X adalah :

Contoh :

1. Carilah nilai harapan banyaknya mahasiswa IF yang duduk dalam suatu kepanitiaan yang berjumlah 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 mhs IF dan 3 mhs TK

Jawab :

 Misalkan X = banyaknya mhs IF dalam panitia.

X = {0, 1, 2, 3}

Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai :

sehingga

Jadi nilai harapan banyaknya mhs IF yang duduk dalam kepanitiaan  adalah:

2. Hitunglah harapan umur dari bolam lampu, jika diketahui bahwa X perubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) dari bolam lampu, yang dinyatakan dalam bentuk berikut:

Jawab :

Jadi bola lampu tersebut dapat diharapkan berumur 200 jam.

Baca juga artikel sebelumnya tentang Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontiniu

Teorema

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x),  maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah :

Contoh :

1. Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini:

Jika diketahui bahwa g(X) = 2X-1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah),maka tentukan pendapatan yang diharapan  karyawan perusahaan tersebut.

Jadi  harapan penerimaan upah para karyawan = Rp …….

2. Hitunglah nilai harapan g(x) = 4x + 3, jika X merupakan suatu variabel acak dengan fungsi padat pobabilitas:

Jawab :

Silahkan teman – teman tonton juga video tentang Nilai Harapan (Ekspektasi) Peubah Acak Ganda Dua

Pada distribusi ini setiap variabel acak yang muncul memiliki probabilitas yang sama, dimana:

Jika nilai dari variabel acak tersebut tersebar pada sebuah interval (a,b), maka fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari distribusi uniform  dinyatakan sebagai :

Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi uniform dinyatakan sbb :

Contoh :

Jika waktu seseorang menunggu datangnya pesawat disebuah bandara antara jam 08.00-10.00 berdistribusi uniform. Hitung  berapa probabilitas seseorang harus menunggu :

• Kurang atau sama dengan 30 menit dari jam 08.00?
• Lebih dari 30 Menit

Jawab :

a. Waktu 08.00 – 10.00 = 120 menit, maka

Berarti probabilitas seseorang menunggu kurang dari 30 menit adalah 0,25

Berarti probabilitas seseorang menunggu lebih dari 30 menit adalah 0,75

Baca juga artikel Sebelumnya tentang Distribusi Poisson pada Teori Peluang

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Digunakan untuk memodelkan jumlahan waktu hingga kemunculan sebuah event tertentu, atau memodelkan waktu di antara event-event yang saling independen.

Beberapa aplikasi distribusi eksponensial:

• pemodelan waktu hingga komputer log off.
• pemodelan waktu antara waktu kedatangan panggilan telepon, dll.

Fungsi kerapatan probabilitas (pdf) dari distribusi eksponensial, dinyatakan sebagai sbb:

Fungsi Distribusi Kumulatif (cdf) dari distribusi eksponensial dinyatakan sebagai :

Contoh :

Lamanya waktu untuk melayani seseorang di suatu kafetaria merupakan suatu variabel random berdistribusi eksponensial dengan rata-rata = 4. Tentukan fungsi kepadatan probabilitasnya dan probabilitas seseorang akan dilayani dalam kurun waktu kurang dari 3 menit.

Probabilitas seseorang akan dilayani dalam kurun waktu kurang dari 3 menit adalah :

Distribusi Probabilitas Gamma

Fungsi Gamma :

Variabel random kontinu X berdistribusi Gamma dengan parameter α dan β bila fungsi kepadatan probabilitas X dinyatakan dengan :

Contoh :

Di suatu kota pemakaian air sehari (dalam jutaan liter) dapat dianggap berdistribusi Gamma dengan α= 2 dan β = 3 yaitu :

Apabila kemampuan menyediakan air adalah 9 juta liter per hari maka probabilitas bahwa pada suatu hari tertentu persediaan air tidak mencukupi adalah :

Distribusi Probabilitas Chi-Square

Variabel random X yang berdistribusi Gamma dengan parameter α= ν/2 dan β= 2 dinamakan variabel random chi-kuadrat dengan derajat bebas ν atau dinotasikan dengan X2v  :

Contoh : Jika di suatu kota pemakaian air sehari (dalam jutaan liter) dapat dianggap berdistribusi Chi-Square dengan v= 4, maka fungsi probabilitasnya adalah :

Distribusi Probabilitas Beta

Distribusi probabilitas Beta mempunyai dua parameter yaitu α dan β yang didefinisikan pada interval [0,1]. Fungsi kepadatan probabilitas Beta didefinisikan sebagai.

Contoh :

Distributor bensin mempunyai tangki persediaan yang diisi di setiap Senin. Dalam pengamatan, kita tertarik untuk menyelidiki proporsi dari penjualan bensin dalam seminggu. Setelah penelitian beberapa minggu maka dapat dibuat model yang merupakan distribusi beta dengan α= 4 dan β= 2. Tentukan probabilitas bahwa distributor akan menjual paling sedikit 90% dari persediaannya dalam minggu yang diberikan.

Jadi, probabilitasnya 90 % dari persediaan akan terjual sangat kecil yaitu 8 %

Distribusi Probabilitas Normal

Distribusi normal dengan parameter mean,  μ dan varians  σ2 biasanya ditulis sebagai N (μ, σ2)

Pdf dari variabel acak terdistribusi normal dinyatakan sebagai :

Nilai  simpangan baku (σ)  pada distribusi normal menyatakan besarnya sebaran dari populasinya, semakin besar σ  maka sebaran data semakin menjauhi rata-ratanya, sebaliknya jika σ kecil maka sebaran data mendekati rata-ratanya.

Probabilitas P(a < x < b) yang berdistribusi normal dapat ditentukan mencari luas area dibawah kurva fungsi f(x) dengan penyelesaian integral.

Namun penyelesaian dengan integral membutuhkan proses yang rumit. Solusinya adalah dengan mentrasformasikan nilai-nilai x menjadi nilai-nilai baku Z, dengan persamaan :

Setelah itu gunakan Tabel Distribusi Normal Standard untuk mendapatkan probabilitas dari nilai Z .

Teman – teman bisa juga menonton video tentang Distribusi Uniform Kontinu

Distribusi ini efektif digunakan untuk n jumlah pengamatan yang sangat besar, sementara probabilitas satu kejadian, p sangat kecil (biasanya jauh di bawah 0,5).

Contoh penggunaan distribusi Poisson  :

pendudukan trafik telepon dalam satu jam pada sentral telepon, banyaknya kesalahan ketik dalam satu halaman laporan, jumlah cacat pada motif selembar kain.

Ciri-ciri percobaan Poisson:

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang tertentu atau daerah tertentu tidak bergantung pada selang atau daerah lain.
2. Probabilitas terjadinya satu hasil percobaan selama selang waktu yang singkat sekali atau daerah yang kecil sebanding dengan selang waktu atau daerah yang lain, juga tidak bergantung pada banyaknya percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah yang lain tersebut.
3. Probabilitas bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau daerah yang kecil bisa diabaikan.

Distribusi probabilitas Poisson dapat dinyatakan :

Dimana

m = rata-rata dari seluruh nilai sukses

e = bilangan eksponensial = 2,71828

y = 0, 1, 2, ….

Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari Poisson dinyatakan sebagai :

Contoh :

1. Polisi Resor Payakumbuh mencatat rata-rata tertangkap 5 orang dalam kasus psikotropika dalam sebulan. Hitung probabilitas bahwa pada satu bulan tertentu orang yang terlibat kasus ini adalah:

a. Tepat 5 orang.

b. Kurang dari 5 orang.

Jawab :

2. Rata-rata kedatangan truk setiap jam pada sebuah gudang bongkar muat adalah 4, maka peluang kedatangan 0 sampai 10 truk adalah :

Hubungan Distribusi Poisson dengan Binomial

Jika X adalah variabel  random yang  memiliki distribusi binomial b(x;n,p), maka  jika jumlah percobaannya  besar sekali n →∞  dan probabilitas untuk “sukses” p kecil sekali p→0, serta rata-ratanya yaitu  µ=np  maka  dalam hal  ini distribusi Binomial bisa diaproksimasi/didekati dengan distribusi Poisson.

Contoh :

Probabilitas  terjadinya  kecelakaan dalam satu hari di sebuah pabrik adalah 0.005. Berapakah probabilitasnya  selama 400 hari terjadi 1 kali kecelakaan ?

X = variabel  random binomial yg  menyatakan banyak hari dengan kecelakaan (“sukses”)

p= probabilitas  terjadinya kecelakaan dalam satu hari 0.005.

n = banyak percobaan /pengamatan = 400 hari

Rata-rata terjadinya kecelakaan dalam 400 hari adalah :

Sehingga peluang terjadinya kecelakaan pada 1 hari dalam 400 hari dapat diaproksimasi dengan distribusi Poisson yaitu :

Silahkan di baca artikel menarik lainya tentang Distribusi Probabilitas Diskrit.

Teman – teman juga dapat menonton video tentang Distribusi poisson contoh soal pembahasan

Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang memberikan hasil dalam dua kelompok(sukses dan gagal).Variabel acak geometrik mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali.

Fungsi Distribusi Probabilitas Geometrik

Contoh :

1. Di dalam suatu proses produksi tertentu diketahui bahwa, secara rata-rata, 1 di dalam setiap100 barang adalah cacat. Berapakah probabilitas bahwa barang kelima yang diperiksa merupakan barang cacat pertama yang ditemukan?

Jawab :

Dengan menggunakan sebaran geometri dengan x = 5 dan      p = 0,01, maka diperoleh :

2. Pada seleksi karyawan baru sebuah perusahaan terdapat 3dari10 pelamar sarjana komputer sudah mempunyai keahlian komputer tingkat advance dalam pembuatan program. Para pelamar diinterview secara intensif dan diseleksi secara random.

a.Hitunglah persentase sarjana dengan keahlian tingkat advance yang diterima dari jumlah pelamar yang ada?

b.Berapa probablilitas pertama kali pelamar diterima pada interview ke 3 yang dilakukan?

c.Berapakah rata-rata pelamar yang memebutuhkan interview guna mendapatkan satu calon dengan keahlian tingkat advance?

Jawab :

a.Sarjana dengan keahlian tingkat advance = 3, jumlah pelamar = 10

persentase yang diterima :

3 / 10 x 100% = 30 %

b.

Distribusi Hipergeometik

Probabilitas kejadian suatu obyek tanpa pengembalian. Dalam pengujian kualitas suatu produksi, maka obyek yang diuji tidak akan diikutkan lagi dalam pengujian selanjutnya, artinya tidak dikembalikan.

Percobaan hipergeometrik memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

• Sebuah pengambilan acak dengan ukurann dipilih tanpa pengembalian dari N obyek
• K dari N obyek dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan    N – k diklasifikasikan sebagai gagal.

Fungsi distribusi probabilitas hipergeometrik

Distribusi probabilitas hipergeometrik dari variabel acak X  yang menyatakan banyaknya outcome “sukses” dalam sebuah pengambilan acak berukuran n yang dipilih dari N obyek dimana k obyek sebagai “sukses” dan N – k obyek sebagai “gagal”, dinyatakan dengan :

• Suku pembagi (denominator) menyatakan  banyak  kombinasi  yg terjadi  jika dari N obyek diambil  n tiap  kali.
• Faktor pertama suku  terbagi  (numerator) menyatakan  banyaknya  kombinasi dari obyek berjenis  “sukses”  yg berjumlah  k jika  tiap kali diambil  sebanyak x buah.
• Faktor kedua suku terbagi  (numerator)  menyatakan  banyaknya kombinasi  dari obyek berjenis  “gagal”  sebanyak N-k jika  tiap kali diambil  sebanyak  (n-x) buah.

Contoh :

1. Suatu kepanitiaan yang terdiri 5 orang dipilih secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki-laki. Hitung distribusi probabilitas banyaknya perempuan yang duduk dalam panitia.

Misalkan :

X = menyatakan banyaknya perempuan dalam panitia = {0, 1, 2, 3}

N = jumlah calon anggota panitia = 8

n = jumlah anggota panitia = 5

k = jumlah calon anggota perempuan = 3

Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus :

2. Sebuah paket yang terdiri dari 40 item, dinyatakan ditolak jikalau paket tersebut mengandung 3 item cacat atau lebih. Prosedur sampling yang diterapkan adalah dengan mengambil 5 item sebagai sampel dan memeriksa kondisinya, jika dari 5 item tersebut ditemui ada yang cacat, maka keseluruhan paket ditolak.

a.Hitung probabilitas jika ternyata paket mengandung 3 item cacat, tetapi dari 5 sampel yang diperiksa hanya terdapat 1 yang cacat.

b. Jika X menyatakan banyak item yang cacat hitunglah nilai mean dan varians-nya

Jawab :

a.Jumlah  total item (N) = 40,

jumlah sampel yang diambil (n) = 5

Banyak item cacat yang terambil dari 5 sampel (x) = 1

Total item cacat dalam populasi (k) = 3

jawab

b. Rata-rata jumlah sampel cacat yang terambil adalah :

dengan nilai varians :

Silahkan di baca artikel menarik tentang Distribusi Binomial pada Teori peluang.

Video tentang Distribusi Peluang Geometrik bisa juga anda tonton untuk menambah ilmu tentang geometrik distribusi

• Distribusi ini hanya mengenal dua keadaan, yaitu berhasil atau gagal.
• Distribusi ini sering disebut juga sebagai proses Bernoulli (Bernoulli trials).

Ciri-ciri proses Bernoulli:

1. Ada dua kejadian yang bisa terjadi dan saling asing  pada setiap percobaan, yaitu: sukses dan gagal.
2. Urutan dari percobaan tersebut merupakan kejadian  independen
3. Probabilitas sukses dinyatakan sebagai p, dimana nilai  p ini tetap dari satu percobaan ke percobaan  berikutnya atau dari satu kejadian ke kejadian lainnya.

Ada tiga nilai yang diperlukan dalam proses Bernoulli:

• jumlah percobaan → n dimana setiap hasil keluaran saling independen,
• jumlah keberhasilan → X
• probabilitas keberhasilan dari X → p

Contoh :

Sebuah proses Bernoulli untuk QC dilakukan dengan memilih 3  komponen secara simultan dari sebuah proses produksi. Setiap  komponen yg diambil dinyatakan “sukses” jika berkondisi baik, dan  “gagal” jika ternyata komponen tersebut . Variabel random X didefinisikan sebagai  banyaknya “sukses” dalam pengambilan 3 komponen tsb, maka :

Ruang sampel bagi X adalah (S: sukses, G: gagal) :

Misalkan diketahui dari proses QC tahun lalu, sebanyak 75% produksi komponen  tersebut berkondisi baik (“S”). Jadi probabilitas 1 kali pengambilan menghasilkan kondisi baik = probabilitas “sukses”

→ p = 3/4, berarti  probabilitas “gagal” q = 1 – 3/4 =1/4

Untuk  X = 1, ada 3 keluaran hasil yaitu : SGG, GSG, GGS

p(SGG) = (¾) . (¼) . (¼) = 3/64

jika f( X = 1 ) menyatakan probabilitas X = 1, maka probabilitasnya :

Baca juga artikel tentang Hukum Peluang Total Pada Teori Peluang

Fungsi Distribusi Binomial

Proses Bernoulli dimana pada tiap percobaan memiliki probabilitas sukses p (atau probabilitas gagal q = 1 – p ), maka fungsi distribusi probabilitas  f(x) dapat dinyatakan dengan persamaan kombinasi, yaitu :

Yang berarti bahwa dari n kali percobaan yang independen mengandung x buah hasil keluaran “sukses”

Sifat dari f(x : n , p) sebagai fungsi probabilitas :

• Nilai mean dan varians dari distribusi Binomial ditentukan oleh berbagai peristiwa yang dihasilkan dari percobaan Binomial.
• Jika sebuah variabel X terdiri dari n percobaan, dimana tiap kali hasil percobaannya disebut Lk yg bisa bernilai “sukses” atau “gagal” dengan probabilitas “sukses” = p.
• Maka mean dari populasi distribusi Binomial dinyatakan

Varians dari total populasi distribusi binomial

Contoh :

Dari hasil penelitian didapatkan bahwa probabilitas  seseorang untuk sembuh dari sakit kanker dengan  pemberian obat tertentu adalah 60%. Jika diambil 10  orang yang terjangkit penyakit secara acak, hitung:

1. Probabilitas tidak lebih dari 3 orang untuk sembuh
2. Probabilitas sedikitnya 5 orang untuk sembuh
3. Hitung rata-rata dan simpangan baku pasien sembuh

Jawab :  1.

Jawaban soal no. 2

Jawaban soal no. 3

Distribusi Multinomial

Percobaan BINOMIAL akan menjadi percobaan MULTINOMIAL apabila tiap percobaan dapat memberikan lebih dari DUA hasil yang mungkin.

Ciri-ciri :

1. Terdiri dari n kali percobaan yan identik
2. Terdapat k jenis keluaran untuk tiap percobaan
3. Peluang dari masing-masing keluaran adalah p1 , p2 , … , pk bernilai tetap dari satu percobaan ke percobaan yang lain dan p1 + p2 + … + pk  = 1
4. Semua percobaan bersifat independen (bebas)
5. Variabel acak multinomial adalah Y1 , Y2 , … Yk untuk setiap k jenis keluaran

Probabilitas distribusi multinomial dinyatakan dengan :

dimana :

pi = peluang keluaran ke-i dalam percobaan tunggal

n = y1 + y2 + … + yk = jumlah percobaan

yi = jumlah kemunculan keluaran ke-i dalam n percobaan

Contoh :

Sebuah penelitian menunjukkan bahwa 10% monitor komputer memberikan radiasi tinggi, 30% sedang, dan 60% rendah. Bila diambil sampel acak 40 monitor dari sebuah populasi, hitunglah :

1. Peluang bahwa 10 monitor memiliki radiasi tinggi, 10 sedang dan 20 rendah
2. Rata-rata dan varians monitor dengan radiasi tinggi dari 40 monitor yang terpilih sebagai sampel

Jawab :

a.Ditentukan :

y1 = jumlah monitor dengan radiasi tinggi =

y2 = jumlah monitor dengan radiasi sedang =

y3 = jumlah monitor dengan radiasi rendah =

p1 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi tinggi =

p2 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi sedang =

p3 = peluang terpilihnya monitor dengan radiasi rendah  =

Rata-rata dan varians terpilihnya monitor dengan radiasi tinggi :

Distribusi Binomial Negatif

Percobaan BINOMIAL NEGATIF ingin mengetahui peluang bahwa sukses  ke – r terjadi pada percobaan ke – x. Sehingga distribusi BINOMIAL NEGATIF merupakan banyaknya percobaan yang berakhir tepat pada sukses ke – r.

Ciri – ciri

1.Kondisi umum IDENTIK dengan distribusi peluang binomial

2.Pengecualian pada perubahan definisi variabel random Y.

y = jumlah trial yang diperlukan untuk memperoleh keluaran S (SUKSES) ke – i.

Contoh :

Untuk memasang baut, digunakan sebuah peralatan elektrik dengan tingkat keberhasilan 0,8 dalam selang waktu 1 detik. Jika operator gagal memasang baut dalam selang waktu 1 detik pertama, tingkat keberhasilan pemasangan pada selang waktu 1 detik kedua dianggap tetap 0,8.dalam 1 rangkaian assembly, terdapat 4 baut yang harus dipasang. Tentukan :

1. Distribusi probabilitas y, yaitu waktu (detik) yang diperlukan untuk memasang ke-4 baut dalam 1 assembly.
2. Peluang bahwa waktu yang diperlukan untuk memasang ke-4 baut tersebut adalah 6 detik

teman – teman bisa juga melihat video tutorial tentan Distribusi Binomial (Contoh Soal)

Pdf dinyatakan sebagai f(x), dan nilainya bisa lebih besar dari 1.

Silahkan di baca artikel sebelumnya tentang Variabel Acak dan Distribusi Peluang

Fungsi Kepadatan Probabilitas Variabel Acak Kontinyu

• Secara teoritis kurva probabilitas populasi diwakili oleh poligon frekuensi relatif yang dimuluskan (variabel acak  kontiniu diperlakukan seperti variabel acak diskrit yang rapat).
• Karena itu fungsi dari variabel acak kontiniu merupakan fungsi kepadatan probabilitas (probability density function – pdf).
• Pdf menggambarkan besarnya propabilitas per unit interval nilai variabel acaknya.

Contoh :

Diketahui suatu variabel acak X memiliki fungsi kerapatan probabilitas (pdf) sbb :

Grafik probability density fuction – pdf

Bagi yang belum paham dapat juga menonton video berikut ini tentang Fungsi Kepadatan Peluang

1. Suatu fungsi yang bernilai riil dari domain ruang sampel dari sebuah eksperimen acak.
2. Nilainya berhubungan dengan kejadian sederhana dalam ruang sampelnya.

Contoh:

• Kandungan sulfur pada 1 kuintal pupuk
• Jarak yang ditempuh untuk 10 liter bensin
• Jumlah hari hujan dalam setahun

Variabel Acak terbagi 2 :

1. Variabel Acak Diskrit :

•   Variabel yang memiliki nilai pada titik tertentu
•   Nilainya dapat dihitung (countable)

Kejadian yang mungkin jumlahnya berhingga dan dapat berarti dilakukan secara berkala, operasionalnya menggunakan operasional fungsi diskrit. Untuk menghitung jumlah peluang semua kejadian dituliskan dengan :

Notasi

• X → variabel acak
• x → nilai variabel acak

Silahkan baca artikel sebelumnya tentang Hukum Peluang Total Pada Teori Peluang

Contoh :

Sebuah laundry memiliki 4 mesin cuci yang bisa disewa pelanggan. Diperkirakan mesin-mesin tersebut dapat berfungsi hingga 5 tahun ke depan. Jika X menyatakan keadaan mesin yang masih baik, tentukan ruang sampel dari variabel acak X

Jawab :

Jika B → kondisi mesin baik, dan R→ mesin rusak, maka kombinasi dari kemungkinan kondisi ke-4 mesin cuci tersebut adalah:

BBBB, BBBR, BBRB, BRBB, RBBB, BBRR, RRBB, BRBR, RBRB, RBBR, BRRB, BRRR, RBRR,, RRBR, RRRB, RRRR

Dari tabel dapat diketahui variabel acak X adalah :

X = 0, 1, 2, 3, 4

dan ruang sampel

S = {  X | 0 £ X £ 4 }

Peluang Variabel Acak Teori Peluang

• Merupakan Peluang terjadinya / kemunculan nilai dari variabel acak X.
• Nilainya berkisar dari 0 sampai 1.
• Peluang kemunculan nilai variabel acak X pada sebuah range tertentu akan tersebar dengan model sebaran tertentu à Distribusi Probabilitas.
• Jumlahan dari seluruh fungsi distribusi probabilitas akan menuju ke nilai maksimum dari peluang, yaitu 1.
• Jumlahan ini dinamakan → Cummulative Distribution Function (CDF).

Fungsi Massa Peluang (Probability Mass Function – pmf)

Jika pada sebuah pengamatan ditampilkan seluruh outcome (keluaran) yang mungkin dari variabel diskrit X, yaitu x1, x2, … ,xn  maka nilai-nilai probabilitas masing-masing variabel diskrit X dinyatakan sebagai:

Nilai-nilai dari fungsi probabilitas berada dalam interval 0 sampai 1, sehingga 0 ≤ p(x) ≤ 1

Jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas adalah 1,

sehingga ∑ p(x) = 1

Fungsi Distributif Kumulatif (Cummulative Distribution Function – cdf)

Menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi peluang yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.

Dinyatakan sebagai :

Contoh :

1. Tentukan distribusi probabilitas dari contoh sebelumnya (mesin laundry)

Jawab :

Ruang sampel :  S = { X | 0 ≤ X ≤ 4 }

Distribusi probabilitas xi :

Rata-rata kondisi mesin baik setelah 5 tahun adalah :

Grafik Distribusi Probabilitas

Grafik Distribusi Kumulatif

Bagi teman – teman yang belum paham bisa juga menonto video ini