Secara numerik :

Interpretasi geometri integral  f(x) pada selang [a, b] adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu-x, dan garis  x = a dan  x = b. Dengan cara membagi selang integrasi [a, b] menjadi n buah segmen, maka luas daerah integrasi [a, b]dapat dihampiri sebagai luas dari n buah segmen atau pias -> Metode Pias.

Bentuk tabel data diskrit adalah :

Lebar tiap segmen adalah :

xr -> Titik absis segmen dinyatakan sebagai :

fr -> nilai fungsi pada titik absis segmen adalah :

Kaidah Trapesium

Pandang sebuah pias/segmen berbentuk trapesium dari x = x0 sampai x = x1  , seperti pada gambar berikut :

Luas satu trapesium adalah :

Bila selang [a, b] dibagi atas n buah pias trapesium, kaidah itegrasi yang diperoleh adalah kaidah trapesium gabungan.

Galat Kaidah Trapesium

Galat total integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan kuadrat lebar pias (h). Semakin kecil ukuran h, semakin kecil juga galatnya, namun semakin banyak jumlah komputasinya

Rumus :

Contoh 1 :

Hitung integral

dengan kaidah trapesium. Bagi daerah integrasi menjadi 8 pias. Perkirakan juga batas-batas galatnya (Gunakan 5 angka bena)

Penyelesaian :

– Fungsi integralnya -> f(x) = ex        

-Lebar pias/segmen adalah :

– Tabel data diskritnya adalah :

Galat kaidah trapesium :

Nilai sejati I harus terletak diantara :

23.914 – 0.1598 = 23.834   dan   23.914 – 0.0323 = 23.962

Nilai integrasi sejati = 23.914 -> terletak diantara 23.834 dan 23.962

Galat hasil integrasi  =

23.914 – 23.944 = -0.080 -> terletak diantara -0.0323 dan -0.1598

Kaidah titik Tengah

Pandang sebuah pias/segmen berbentuk empat persegi panjang dari x = x0 sampai x = x1 dan titik tengah absis x = x0 + h/2.

Luas satu pias adalah :

Kaidah titik tengah gabungan  adalah :

Galat Kaidah Titik Tengah

Galat untuk satu buah segmen :

Contoh 2 :

Hitung  nilai integrasi fungsi f(x) = ex , dengan batas integrasi 1.8 sampai 3.2. Gunakan h = 0,2. Perkirakan batas-batas galatnya.

Jawab :

Untuk h = 0,2

x1/2 -> x0 + h/2 = 1.8 + (0.2/2) = 1.9

x3/2 -> x1 + h/2 =(x0  + h ) +( h/2) = 2 + 0.1 =2.1

Dan seterusnya

Kaidah  Simpson 1/3

Merupakan pengembangan dari kaidah trapesium, dengan daerah pembagi terdiri dari dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat dititik tengahnya (jumlah n harus genap)

Luas daerah yang dibatasi fungsi y = f(x) dan sumbu x dapat dihitung :

Galat untuk dua pasang n :

Galat gabungan  :

Latihan :

Tentukan nilai integrasi

dengan menggunakan :

a.Kaidah Trapesium

b.Kaidah Titik Tengah

c.Kaidah Simpson 1/3

Bandingkan ketiga jawaban yang mana yang lebih mendekati nilai integral sejatinya !

Pada artikel sebelumnya kita sudah membahas tentang Integrasi Numerik

Pendekatan numerik memiliki 3 hampiran diantaranya :

1. Hampiran Selisih Maju
2. Hampiran Selisih Mundur
3. Hampiran Selisih Pusat

Perhitungan turunan numerik dapat dilakukan dengan  menggunakan nilai-nilai diskrit yang ditampilkan dalam bentuk tabel. 3 pendekatan numerik yang digunakan untuk menghitung turunan pertama yaitu :

Contoh :

Definisikan fungsi f(x) = ex – 5x2 dalam interval a = 1.3 dan b = 2.5  dengan h = 0.2.

Kemudian hitunglah :

a.f’(1.3)

b.f’(2,5)

c.f’(1.7)

Jawab :

1. Untuk menghitung f’(1.3) gunakan rumus hampiran selisih maju, sebab x = 1.3 hanya mempunyai titik-titik sesudahnya, tetapi tidak memiliki titik-titik sebelumnya, sehingga :

Galat : |9.33070| – |9.93805|=-0.60735

terletak diantara -0.63307 dan -0.55183

2. Untuk menghitung nilai f’(2.5) digunakan rumus hampiran selisih mundur, sebab x = 2.5, hanya mempunyai titik-titik sebelumnya (mundur), sehingga :

3. Untuk menghitung nilai f’(1.7) dapat mengunakan semua rumus hampiran

Galat terletak diantara :

– Dengan hampiran selisih mundur

Galat terletak diantara :

– Dengan hampiran selisih pusat

Galat terletak diantara :

Pendekatan untuk turunan ke-2 fungsi

-> menggunakan 3 titik data yaitu :

Latihan

Definisikan fungsi

dalam selang [1.5 , 2.5] dengan h = 0.2 kemudian tentukan nilai turunan fungsi hampiran dan bandingkan dengan nilai turunan fungsi sejatinya pada setiap nilai x !

Teman – teman juga bisa belajar pada video tutorial di ini

Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang Metode Numerik Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena :

1. Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah  besar.
2. Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange.

Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai untuk membuat polinom derajat yang makin tinggi.

Jurnal yang berkaitan dengan interpolasi newton disini

Tinjau polinom lanjar :

Polinom Newton berderajat 2

Polinom Newton berderajat n

Nilai konstanta  a0 , a1 , a2 , …, an merupakan nilai selisih-terbagi, yaitu :

Nilai selisih terbagi ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel yang disebut tabel selisih -terbagi, misalnya tabel selisih-terbagi untuk empat buah titik  (n  = 3) berikut:

contoh :

Hitunglah ln9.2 dari nilai-nilai (x, y) yang diberikan pada tabel berikut dengan polinom Newton derajat 3, bandingkan dengan nilai sejatinya yaitu ln(9.2) = 2.219203 (gunakan 7 angka bena),

Sehingga polinom newton (dengan x0 = 8.0 -> titik data pertama) adalah :

Nilai sejati ln(9.2) = 2.219203, sehingga galat yang dihasilkan pada polinom Newton derajat 3 adalah  :

|2.219203 – 2.219208| = 0.000005 -> tingkat ketelitian sampai dengan 6 angka bena.Sehingga semakin tinggi derajat / orde polinom maka tingkat ketelitian juga semakin tinggi

Sebelumnya kita sudah membahas tentang Metode Numerik Interpolasi Newton, bagi teman – teman yang belum apa itu Metode Numerik Interpolasi Newton dapat membaca artikel sebelumnya.

Menggunakan fungsi pendekatan kuadrat -> kurva berbentuk parabola. Merupakan interpolasi linier menggunakan tiga titik (x0,y0) (x1,y1) dan (x2,y2) yang berada paling dekat dengan nilai x Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk :

 Polinom kuadrat / Polinom derajat 2

Dengan mensubsitusikan nilai (x0, y0) (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan, maka akan diperoleh tiga buah persamaan sebagai berikut :

Nilai a0 , a1 dan a2 dapat dicari dengan metode eliminasi Gauss

Contoh :

Dari data

Tentukan ln(9,2) dengan interpolasi kuadratik (gunakan 5 angka bena)

Penyelesaian sistem persamaan  dengan metode eliminasi Gauss menghasilkan a0 = 0.6762, a1 = 0.2266 dan a3 = -0.0064, sehingga polinom kuadratnya adalah :

Tingkat ketelitian 5 angka bena

Interpolasi Lagrange

Persamaan polinom lanjar

Dapat diatur kembali menjadi :

jika :

Maka :

Bagi teman – teman yang ingin mencari jurnal tentang penerapan Interpolasi Lagrange, dapat membaca jurnal tentang Aplikasi Interpolasi Lagrange dan Ekstrapolasi dalam Peramalan Jumlah Penduduk

Polinom Lagrange derajat 1

Sehingga bentuk umum polinom Lagrange derajat £ n untuk (n+1) titik berbeda adalah :

Contoh :

Dari data

Tentukan nilai y pada x = 5, dengan polinom lagrange derajat 2

Jawab :

Polinom lagrange derajat 2 -> tiga titik data yaitu : (1, 3) (4, 5) dan (7, 6) Bentuk polinom lagrange derajat 2 adalah :

Hasil penelitian/percobaan biasanya berupa data diskrit yang disajikan dalam bentuk tabel.

Contohnya :

Tabel diatas merupakan data hasil pengukuran fisika yang telah dilakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan-karat (x) dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah (y)

Persoalan -> Bagaimana cara menentukan nilai y diantara nilai-nilai x tersebut  (misalnya x = 7) tanpa harus melakukan pengukuran lagi, dan fungsi yang menghubungkan variabel y dengan variabel x tidak diketahui?

Solusinya -> mencari fungsi yang mencocokan (fit) titik-titik data didalam tabel à Pencocokan Kurva (curve fitting)

Pencocokan Kurva  sebuah metode yang mencocokan titik data dengan sebuah kurva

Digunakan untuk menghitung nilai fungsi, menghitung nilai turunan dan menghitung nilai integral.

Salah satu metode pencocokan kurva -> Interpolasi. Interpolasi mencari nilai-nilai antara yang tidak ada pada data. Biasanya digunakan pada data yang mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, sehingga kurva  cocokannya dibuat melalui setiap titik.

teman – teman dapat juga mendownload artikel tentang interpolasi numerik pada link berikut ini

Interpolasi Lanjar

Interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Menggunakan dua titik (x0 , y0) dan (x1 , y1) yang berada paling dekat dengan nilai x. Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:

Dengan mensubsitusikan (x0 ,  y0) dan (x1,  y1) ke dalam persamaan diatas, maka diperoleh dua buah persamaan lanjar yaitu :

Dengan mengeliminasi nilai a0 , dapat ditentukan nilai a1 , yaituSubsitusikan nilai a1 kedalam persamaan untuk menentukan nilai a0 , yaitu :

Subsitusikan nilai a0 dan a1  kedalam persamaan garis, sehingga :

Dengan melakukan manipulasi aljabar, persamaan diatas dapat disusun menjadi :

Polinom lanjar / Polinom derajat 1

Contoh :

1.Diketahui data sbb : Tentukan nilai y, untuk x = 5 dan x = 9

Jawab :

Untuk x = 5, maka (x0 , y0) -> (4,00 ; 5,00)

(x1 , y1) -> (7,00 ; 6,00)

Untuk x = 9, maka (x0 , y0) ->

(x1 , y1) ->

2. Dari data ln(9.0) = 2.1972 ln(9.5) = 2.2513. Tentukan ln(9,2) dengan interpolasi lanjar (gunakan 5 angka bena)

Jawab :

Untuk ln(9,2) ->   (x0 , y0) -> (9.0 ; 2.1972)

(x1 , y1) ->(9.5 ; 2.2513)

Jika dibandingkan dengan nilai sejatinya ln(9,2) = 2.2192, maka galat yang dihasilkan dari interpolasi lanjar adalah :

e = 2.2192 -2.2188 = 0.0004 -> ketelitiannya hanya sampai 3 angka bena.

Silahkan juga di baca tentang Metode Numerik : Interpolasi Kuadratik

Jika terjadi f’(x) = 0, ulang kembali perhitungan dengan nilai x0 yang lain. Jika persamaan f(x) = 0 memiliki lebih dari satu akar, pemilihan x0 yang berbeda-beda dapat menenmukan akar yang lain. Dapat pula terjadi lelaran konvergen ke akar yang berbeda dari yang diharapkan.

Baca juga artikel tentang Tautologi, Kontradiksi dan Kesetaraan Logis

Algoritma Metode Newton Raphson

1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x)
2. Tentukan toleransi error (∈) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f’(x0)
5. Untuk iterasi i = 1 s/d n atau |f(xi)| ³ e

Hitung f(xi) dan f’(xi)

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

Contoh 2 :

Hitunglah akar f(x) = ex – 5x2   dengan metode Newton Raphson dengan tebakan awal x0 = 0.5 dan gunakan ε = 0.00001

Penyelesaian :

Contoh 3 :

Tentukan bagaimana cara menentukan nilai √c

dengan metode Newton Raphson

Penyelesaian :

Misalkan √c = x -> kuadratkan kedua ruas -> c = x2  -> x2 – c = 0 -> f(x)

Kriteria konvergensi metode Newton-Raphson

Jika metode Newton-Raphson konvergen, maka kekonvergenannya akan berlangsung cepat -> lelarannya lebih sedikit . Pemilihan tebakan awal akar sebaiknya cukup dekat dengan akar sejatinya dengan membuat grafik fungsi dapat diketahui apakah fungsi tersebut mempunyai akar atau tidak.

Metode Newton-Raphson akan konvergen bila :

teman – teman dapat juga menonton video tentang Contoh Soal Metode Lelaran Titik Tetap

Metode Bagi Dua

Misalkan fungsi f(x) adalah fungsi yang kontiniu pada selang [a, b] dan f(a)f(b) < 0

– Pada iterasi pertama selang [a, b] dibagi dua di x = c, sehingga terdapat dua bagian selang yang baru yaitu  [a, c] dan [c, b].

-Jika f(a)f(c) < 0, maka selang [a, c] digunakan untuk iterasi berikutnya, jika tidak, maka selang    [c, b] yang digunakan untuk iterasi berikutnya, dst

Iterasi dihentikan jika terdapat salah satu dari tiga kondisi berikut :

1.Lebar selang baru < ε (yaitu nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar)

2.Nilai fungsi dihampiran akar f(c) = 0

3.Galat relatif hampiran akar : | (cbaru – clama ) / cbaru | < δ yaitu galat relatif hampiran yang diinginkan

Jumlah iterasi pembagian selang minimal yang dibutuhkan untuk menjamin bahwa c adalah hampiran akar yang memiliki galat < ε, dapat dihitung dengan rumus :

Algoritma Metode Bagi Dua2 pada Metode Numerik

1)Definisikan fungsi f(x)yang akan dicari akarnya

2)Tentukan nilai selang a dan b

3)Tentukan torelansi ε

4)Hitung f(a)dan f(b)

5)Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, jika f(a).f(b)<0 proses dilanjutkan

6)Hitung c = (a + b) / 2

7)Hitung f(c)

8)Jika f(a).f(c) < 0, maka b -> c dan f(b) -> f(c) selang baru yang digunakan [a, c],  jika f(a).f(c) > 0 maka a -> c dan f(a) à f(c) selang baru yang digunakan [c, b]

9)Jika |b – a|< ε, maka proses dihentikan dan didapatkan akar = c, dan bila tidak, ulangi langkah 6

Iterasi selangkapnya dapat dilihat pada tabel berikut :

Metode Regula-Falsi

Meteode regula-falsi pada metode numerik merupakan sebuah metode memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas selang. Metode ini juga memperhitungkan nilai f(a) dan f(b) dalam menentukan nilai hampiran akarnya

Prinsip metode ini adalah menggunakan garis scan  (garis lurus yang menghubungkan 2 koordinat nilai awal terhadap kurva) untuk mendekati akar persamaan non linear (titik potong kurva f(x) dengan sumbu x)

Hampiran nilai akar selanjutnya merupakan titik potong garis scan dengan sumbu x

Algoritma Metode Regula Falsi

1)Tentukan nilai awal selang [a, b]

2)Cek nilai f(a) dan f(b) : jika berbeda tanda maka nilai awal selang dapat digunakan untuk  iterasi selanjutnya, jika tidak, maka tentukan nilai awal yang baru

3)Lakukan iterasi dan tentukan nilai c dengan rumus :

4)Cek  konvergensi nilai c, jika nilai f(c) = 0 dan nilai cn+1 dan cn konstan, maka proses iterasi dihentikan

5)Jika belum konvergen, tentukan nilai selang baru dengan cara :

jika tanda f(c) = tanda f(a)  atau f(a)f(c) > 0 maka c = a

jika tanda f(c) = tanda f(b) atau f(a)f(c) < 0 maka c  = b

Contoh 2 :

Tabel iterasi fungsi f(x) = ex – 5x2 dengan metode regula falsi :

Perbaikan metode regula-falsi

Pada metode regula-falsi akan ditemui salah satu dari titik ujung selang yang nilainya selalu tetap (pada contoh 2 adalah nilai b) untuk setiap iterasi yang dinamakan titik mandek (stagnant point).

Cara mengatasinya :

Pada akhir iterasi r = 0, tentukan titik ujung selang yang tidak berubah (titik mandek), kemudian nilai fungsi f pada titik tsb diganti menjadi setengah kalinya, yang akan digunakan pada iterasi r = 1. Jika diterapkan pada contoh 2, maka hasil iterasinya adalah sbb :

Tugas 3 :

Tentukan akar persamaan dari fungsi f(x) = e-x – x, dalam selang [0 , 1] dan ε = 0.0001 dengan metode bagi dua dan regula falsi!

Untuk lebih memahami lebih jelasnya teman – teman juga melihat video pembahasan tentang metode regula falsi.

Persamaan nirlanjar / non linear melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma dan fungsi transenden lainnya dimana solusinya adalah dengan menentukan nilai x yang memenuhi persamaan :

f(x) = 0

yaitu nilai x = s sedemikian sehingga f(s) = 0

METODE PENCARIAN AKAR

Pencarian akar f(x) = 0 dalam metode numerik dilakukan secara lelaran (iteratif). Secara umum, metode pencarian akar dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu :

1.Metode Tertutup atau metode pengurung

Mencari akar di dalam selang [a, b], dimana pada selang [a, b] dapat dipastikan berisi minimal satu buah akar.  Lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar.

2. Metode Terbuka

Metode ini tidak memerlukan selang [a, b] yang mengandung akar, yang diperlukan adalah tebakan awal akar,  yang akan digunakan untuk menghitung hampiran akar yang baru dengan prosedur lelaran. Metode ini tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen ke akar sejati, kadang-kadang divergen (menjauhi) akar sejati.

 METODE TERTUTUP

Strateginya adalah mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga lebar selang semakin sempit dan menuju ke akar yang sebenarnya

Sebuah fungsi f(x) = 0 yang berada dalam selang [a, b] dapat mempunyai lebih dari satu buah akar atau tidak sama sekali, yaitu :

1.Jika f(a)f(b) < 0  -> terdapat akar sebanyak bilangan ganjil

2.Jika f(a)f(b) > 0 ->  terdapat akar sebanyak bilangan genap atau tidak ada akar sama sekali

Dua pendekatan yang dapat digunakan dalam memilih selang, yaitu :

-Membuat grafik fungsi bidang XY, lalu melihat dimana perpotongannya dengan sumbu X, sehingga kita bisa mengira-ngira selang yang memuat titik potong tsb

-Mencetak nilai fungsi pada titik-titik absis dengan jarak yang cukup kecil namun tetap, semakin kecil jarak titik absis, semakin besar peluang menemukan selang yang mengandung hanya sebuah akar

Teman – teman juga melihat video tentang keunggulan dan kelemahan dari metode pencarian akar 

Metode Tabel

Secara sederhana, untuk menyelesaikan persamaan non linier dapat dilakukan dengan  menggunakan  metode  tabel  atau  pembagian area. Dimana untuk x = [a, b] atau x diantara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan  pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh sebuah tabel.

• Jika f(xk ) = 0 atau mendekati 0 maka xk adalah penyelesaian persamaan
• Jika f(xk ) ¹ 0, cari nilai f(xk ) dan f(xk+1 ) yang berlawanan tanda

– jika |f(xk  )| < |f(xk+1 )| maka  xk adalah akar persamaan, jika tidak maka xk+1 adalah akar persamaan atau akar persamaan berada diantara xk dan xk+1

• Jika f(xk ) ¹ 0, dan nilai f(xk ) dan f(xk+1 ) tidak ada yang berlawanan tanda maka penyelesaiannya (akar persamaan) tidak berda pada selang [a, b]

algoritma model tabel

Contoh :

Tentukan akar persamaan fungsi

Materi selanjutnya akan kita bahas adalah Metode Numerik Metode Biseksi dan Regular Falsi Part 2

Dimana :
m = mantisa (riil), dengan d1d2d3d4…dn adalah digit atau bit mantisa yang nilainya dari 0 sampai dengan B – 1 dan n adalah panjang digit (bit) mantisa
B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16 dsb)
p = pangkat (berupa bilangan bulat), nilainya –Pmin sampai +Pmaks

Bagi teman – teman yang belum terlalu paham apa itu bilangan titik kambang dapat menonton video berikut ini

Bilangan Titik-Kambang Ternormalisasi

Representasi bilangan titik-kambang beragam, misalnya 245.7654 dapat ditulis sebagai :

Normalisasi format bilangan titik-kambang di komputer semua digit mantisa selalu berupa angka bena, sehingga digit pertama mantisa ( d1 ) tidak boleh nol.

Pembulatan pada Bilangan Titik-Kambang

1. Pemenggalan (chopping)

Misalkan a adalah bilangan titik-kambang dalam basis 10 :

a = ±0.d1d2d3 …dndn+1… x 10p

Misalkan n adalah banyak digit mantis komputer, karena digit mantis a lebih banyak dari digit mantis komputer, maka bilangan a dipotong sampai n digit saja :

flchop (a) = ±0.d1d2d3 …dn-1dn x 10p

2. Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding)

Misalkan a adalah bilangan titik-kambang dalam basis 10 :

a = ±0.d1d2d3 …dndn+1… x 10p

Misalkan n adalah banyak digit mantis komputer, karena digit mantis a lebih banyak dari digit mantis komputer, maka bilangan a dipotong sampai n digit saja :

Untuk materi metode numerik selanjutnya kita akan mempelajari tentang Metode Numerik Metode Biseksi dan Regular Falsi Part 1

Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat pembulatan.
Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit atau (bit) saja, sehingga bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresantasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat

Misalnya apabila sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0,1666666666…, didalam komputer 6-digit tersebut adalah 0,166667.
Sehingga galat pembulatannya adalah –› 1/6 – 0,166667 = -0,000000333.

Untuk referensi belajar tentang galat teman – teman dapat juga membaca pada artikel berikut ini

Dua cara penyajian bilangan riil pada komputer digital :

• Bilangan titik-tetap (fixed point)

Dalam format ini setiap bilangan disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap, misalnya 62.358 ; 0.013 ; 1.000

• Bilangan titik-kambang (floating point)
  Dalam format ini setiap bilangan disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap, misalnya
  – 0.6238 x 103 atau 0.6238E+03
  – 0.1714 x 10-13 atau 0.1714E-13

Digit-berarti disebut juga Angka Bena (significant figure) yaitu angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti.

Contoh 4 :

43.123  memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1, 2, 3)

0.1764  memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4)

278.300  memiliki 6 angka bena (yaitu 2, 7, 8, 3, 0, 0)

0.0000012  memiliki 2 angka bena

270.0090  memiliki 7 angka bena

Galat Total

adalah

Jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.

Pada contoh sebelumnya, kita menggunakan deret Maclaurin orde ke-4 untuk menghampiri cos(0.2) sbb:

• galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0.2) sampai suku orde 4
• galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai    hampiran ke dalam 7 digit bena

Latihan :

Untuk sharing belajar berikutnya kita akan membahas tentang Metode Numerik Bilangan Titik – Kambang